Теория чисел

[nnosipov]

provincialka в сообщении #855309 писал(а):

Когда мы прекращаем суммирование?

Вот здесь и прекращаем.

provincialka в сообщении #855309 писал(а):

Что общего у всех полученных чисел? (в смысле деления на 9).

Остаток от деления на 9.

[boriska]

provincialka в сообщении #855309 писал(а):

Что-то у меня ум слегка зашел за разум. Вот есть число, пусть 784. Сумма его цифр - 19. Сумма цифр этого числа - 10. Еще раз - 1. Когда мы прекращаем суммирование? Что общего у всех полученных чисел? (в смысле деления на 9).

Остаток от деления на 9 одинаковый, я это понимаю, понимаю, что можно записать
$784\equiv 10\equiv 1(\mod 9)$
Понимаю, что это общее, но как эти ниточки соединить теперь?

-- 26.04.2014, 15:40 --

То есть эти остатки и есть те самые искомые числа?

[provincialka]

nnosipov, вы зачем отвечаете? Это не к вам вопросы.
Я просто неудачно выразилась. У меня "ум ушел за разум" от непонятливости ТС. Неужели вы думаете, что я эту задачку не могу решить ? Боже !

-- 27.04.2014, 00:08 --

boriska в сообщении #855313 писал(а):

То есть эти остатки и есть те самые искомые числа?

Именно! Вы ведь не ответили на вопрос "Когда мы останавливаем суммирование"? А тогда, когда число станет однозначным, то есть от 1 до 9.
Хотя... Тут есть небольшая поправка. Обычно принято считать остатком число от 0 до 8, у нас же при суммировании цифр ноль никогда не получится. Его роль играет 9.

Полученный результат называют иногда "цифровым корнем числа". Его можно использовать, например, при проверке правильности вычислений. А то и в нумерологии (астрологии)

[boriska]

Спасибо. А почему остатки от деления на 9 стали этими числами, вот это я и не пойму, вижу, что это так, но почему -- не пойму...)) Наверное, достал вопросами(

[arseniiv]

Каждая итерация $10^na_n + \ldots + 10a_1 + 1a_0 \mapsto a_n + \ldots + a_1 + a_0$ сохраняет остаток от деления на 9, потому что

$$(10^na_n + \ldots + 100a_2 + 10a_1 + 1a_0) - (a_n + \ldots + a_1 + a_0) =$$$$= (\underbrace{9\cdots9}_{n\text{ штук}}a_n + \ldots + 99a_2 + 9a_1) = 9k$$

прямо по определению сравнимости по модулю (это чуть лучше остатка от деления — можно сравнивать по модулю 0!).

Говорят, что $a$ и $b$ сравнимы по (возможно, нецелому) модулю $m$, и пишут $a\equiv b \pmod m$, если существует целое $k$ такое, что $a - b = km$. Можно показать, что сравнимость по ненулевому модулю означает так же равенство остатков от деления $a\bmod m$ и $b\bmod m$, которые тоже можно определить и для нецелых $m$, и это может быть удобно — например, загнать угол в диапазон $[0;2\pi)$ простой и понятной записью $\varphi\bmod2\pi$.

[nnosipov]

provincialka в сообщении #855544 писал(а):

nnosipov, вы зачем отвечаете?

Рефлекс сработал.

boriska в сообщении #855582 писал(а):

А почему остатки от деления на 9 стали этими числами, вот это я и не пойму

Н-да, чего уж так, после всего-то сказанного. Поймите наконец эту ерунду. Вы же говорите, что понимаете, что такое сравнения по модулю.

[boriska]

arseniiv в сообщении #855586 писал(а):

Каждая итерация $10^na_n + \ldots + 10a_1 + 1a_0 \mapsto a_n + \ldots + a_1 + a_0$ сохраняет остаток от деления на 9, потому что

$$(10^na_n + \ldots + 100a_2 + 10a_1 + 1a_0) - (a_n + \ldots + a_1 + a_0) =$$$$= (\underbrace{9\cdots9}_{n\text{ штук}}a_n + \ldots + 99a_2 + 9a_1) = 9k$$

прямо по определению сравнимости по модулю (это чуть лучше остатка от деления — можно сравнивать по модулю 0!).

Говорят, что $a$ и $b$ сравнимы по (возможно, нецелому) модулю $m$, и пишут $a\equiv b \pmod m$, если существует целое $k$ такое, что $a - b = km$. Можно показать, что сравнимость по ненулевому модулю означает так же равенство остатков от деления $a\bmod m$ и $b\bmod m$, которые тоже можно определить и для нецелых $m$, и это может быть удобно — например, загнать угол в диапазон $[0;2\pi)$ простой и понятной записью $\varphi\bmod2\pi$.

Спасибо. Это я уже давно понял. Но все еще не до конца понял -- почему, если

Цитата:

Каждый член прогрессии заменить суммой его цифр. С полученной последовательностью поступить также и действовать так до тех пор пока не получится последовательность однозначных чисел.

То получатся отстатки от деления на 9.

-- 28.04.2014, 23:15 --

nnosipov в сообщении #855604 писал(а):

Поймите наконец эту ерунду. Вы же говорите, что понимаете, что такое сравнения по модулю.

Ну не получается, не вижу прямой связи
Я вижу это только как закономерность, но откуда она следует - не пойму...

-- 28.04.2014, 23:25 --

provincialka в сообщении #855544 писал(а):

[b]
Именно! Вы ведь не ответили на вопрос "Когда мы останавливаем суммирование"? А тогда, когда число станет однозначным, то есть от 1 до 9.
Хотя... Тут есть небольшая поправка. Обычно принято считать остатком число от 0 до 8, у нас же при суммировании цифр ноль никогда не получится. Его роль играет 9.

Полученный результат называют иногда "цифровым корнем числа". Его можно использовать, например, при проверке правильности вычислений. А то и в нумерологии (астрологии)

То есть это экспериментально полученный факт?

[provincialka]

boriska, может, вам головой о стену постучаться, что ли. Или перебрать еще несколько примеров?

$13579$ - остаток от деления на 9 равен 7
$1+3+5+7+9 = 25$ - остаток от деления на 9 равен 7
$2+5 = 7$ - остаток от деления на 9 равен 7
Это число однозначное. Есть ли другое однозначное число, у которого остаток от деления на 9 равен 7?

Больше суммировать цифры нет смысла. Осталось однозначное число, у которого тот остаток при делении на 9 такой же, как у исходного. И чему же может быть равно это число?
- самому остатку, если этот остаток не 0
- девяти, если остаток равен 0

Так что это не совсем остаток. Это цифровой корень числа.

-- 29.04.2014, 00:29 --

boriska в сообщении #856502 писал(а):

То есть это экспериментально полученный факт?

Чего??

[boriska]

provincialka в сообщении #856518 писал(а):

Больше суммировать цифры нет смысла. Осталось однозначное число, у которого тот остаток при делении на 9 такой же, как у исходного. И чему же может быть равно это число?
- самому остатку, если этот остаток не 0
- девяти, если остаток равен 0

Вот эти 4 строчки открыли глаза и я все понял Спасибо)

[provincialka]

Ура! Битье головой о стенку отменяется!