Пространства

[Ёж]

Здравствуйте!
Помогите, пожалуйста, разобраться: чем отличается пространство от множества?
Как известно, что множество является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность некоторых объектов, объясненных по какому-либо признаку. Но множество всевозможных упорядоченных совокупностей $n$ вещественных чисел $(x_1, x_2, …x_n)$ называют $n$-мерным координатным пространством. Т.е. множество и пространство это одно и то же?

И еще, правильно ли понял то, что $n$-мерное координатное пространство обозначают $R_n$, а если там ввести расстояние, то его называют $n$-мерным Евклидовом пространством и обозначают $E_n$?

[kp9r4d]

В каком-то очень изощренном смысле любое множество можно называть пространством, а его элементы — точками, но так обычно никто не делает. Обычно когда говорят «пространство», то подразумевают не просто множество, а ещё и какую-нибудь структуру на нём.

Ёж в сообщении #855444 писал(а):

И еще, правильно ли понял то, что $n$-мерное координатное пространство обозначают $R_n$, а если там ввести расстояние, то его называют $n$-мерным Евклидовом пространством и обозначают $E_n$?

Не только расстояние, но и какое-то подобие углов. Ну в принципе-то да.

[Munin]

kp9r4d в сообщении #855447 писал(а):

Обычно когда говорят «пространство», то подразумевают не просто множество, а ещё и какую-нибудь структуру на нём.

Обычно как минимум топологическую (это означает, какие точки "рядом" с какими точками). Дальше возможно много других структур:
- гладкая (какие точки с какими точками лежат на "гладких кривых");
- метрическая (какие расстояния между точками; это позволяет ввести "прямые" - геодезические, и углы);
- линейная (это позволяет рассматривать точки как элементы векторной алгебры)
и многое ещё всяких. Некоторые из них включают другие, некоторые между собой несовместимы.

Ёж в сообщении #855444 писал(а):

а если там ввести расстояние, то его называют $n$-мерным Евклидовом пространством и обозначают $E_n$?

Расстояние можно ввести по-разному, и не только чтобы получилось евклидово пространство. Один из самых часто встречающихся способов - расстояние (метрика) на римановом многообразии. Это то, что в популярной литературе называют "искривлённое пространство" или "пространство с кривизной".

kp9r4d в сообщении #855447 писал(а):

Не только расстояние, но и какое-то подобие углов.

Если введены расстояния, то из них автоматически получаются и углы. Отдельно их вводить не надо - избыточно.

[ewert]

Ёж в сообщении #855444 писал(а):

И еще, правильно ли понял то, что $n$-мерное координатное пространство обозначают $R_n$, а если там ввести расстояние, то его называют $n$-мерным Евклидовом пространством и обозначают $E_n$?

Кто как хочет, тот так и обозначает. Но вообще-то ни то, ни другое в приличном опчестве не принято. В первом случае индекс положено писать сверху, и это лишь частный случай такового пространства (хоть и его универсальная модель), а словосочетание "координатное пространство" -- так и вовсе моветон. Во втором случае не принято писать индекс вообще.

-- Сб апр 26, 2014 22:03:13 --

Munin в сообщении #855464 писал(а):

Если введены расстояния, то из них автоматически получаются и углы.

Нет. Ибо расстояние в точном смысле слова -- атрибут всего лишь метрического пространства.

[Munin]

ewert в сообщении #855476 писал(а):

Нет. Ибо расстояние в точном смысле слова -- атрибут всего лишь метрического пространства.

Кто мешает $\angle ABC\stackrel{\mathrm{def}}{=}\tfrac{\rho^2(A,B)+\rho^2(B,C)-\rho^2(A,C)}{2\rho(A,B)\rho(B,C)}$ ? :-)

Впрочем, я имел в виду в основном именно римановы (и упомянутые евклидовы). Во многих других случаях расстояния есть, а углы вводить просто не имеет смысла. Ну и есть случаи, когда наоборот, углы есть, а расстояний нет - тогда они, разумеется, дефинированы иначе.

[ewert]

Munin в сообщении #855487 писал(а):

Впрочем, я имел в виду в основном именно римановы

Я догадывался. Но в контексте вопроса -- имелись в виду именно абстрактные пространства в порядке обогащения структур. Тогда -- нет.

[Munin]

ewert в сообщении #855493 писал(а):

Я догадывался. Но в контексте вопроса -- имелись в виду именно абстрактные пространства в порядке обогащения структур.

В контексте вопроса имелись в виду именно евклидовы, и ничего больше :-) А абстрактные в порядке обогащения структур - это уже в контексте ответа :-) Не путайте.

[Ёж]

Спасибо за ответы!

не могли ли Вы посоветовать какую нибудь популярную литературу (хотелось бы не научную) о пространствах, на подобии книги Н.Я. Велинкина Рассказы о множествах

[ewert]

Ёж в сообщении #855512 писал(а):

не могли ли Вы посоветовать какую нибудь популярную литературу (хотелось бы не научную) о пространствах,

Я бы лично -- не мог бы. Дело в том, что такой литературы не существует в принципе.

Вы бы ещё попросили литературу о семействах, или о совокупностях, или о классах. Впрочем, о классах как раз можно -- читайте классиков марксизма.

[Munin]

Ёж в сообщении #855512 писал(а):

не могли ли Вы посоветовать какую нибудь популярную литературу (хотелось бы не научную) о пространствах, на подобии книги Н.Я. Велинкина Рассказы о множествах

Есть некоторые популярные книги, вводящие в риманову геометрию и в элементарную топологию. Правда, я в них тоже не разбираюсь. Иногда школьникам рассказывают про конечные геометрии, но это штука, насколько я понимаю, весьма периферийная.

С другой стороны, хорошие учебники вполне читабельны, особенно если они для 1-2 курса и не требуют больших предварительных знаний. А если требуют - прочитайте то, что нужно перед ними.

[Ёж]

Munin в сообщении #855542 писал(а):

С другой стороны, хорошие учебники вполне читабельны, особенно если они для 1-2 курса и не требуют больших предварительных знаний. А если требуют - прочитайте то, что нужно перед ними.

посоветуйте, пожалуйста, хорошие учебники для 1-2 курса

[Munin]

Я больше в физике разбираюсь, а по математике пусть другие посоветуют. Но это тема популярная, вы можете поискать по форуму, здесь советов уже было дано много.

[Brukvalub]

Учебники для 1-2 курсов разные бывают. Бывают по алгебре, бывают по матану, бывают по ангему, бывают по дифгему, бывают по теории чисел, бывают по английскому языку и защите населения.

[Munin]

Вот примерно по линалу и матану, а потом по общей топологии и дифференциальной геометрии, примерно.

[provincialka]

Математические структуры часто бывают простыми по описанию, но сложными для восприятия - вот такой парадокс. Исторически они были созданы после изучения более "конкретных" математических объектов, путем сравнения и выявления общего. Вот такой же путь лучше использовать при их изучении. Сначала поработать в "геометрическим" векторным пространством, потом - с пространством строк/столбцов (в линейной алгебре), со свойствами функций. А топом, глядишь, и общее представление о векторном пространстве появится.