Обычно когда говорят «пространство», то подразумевают не просто множество, а ещё и какую-нибудь структуру на нём.
Обычно как минимум топологическую (это означает, какие точки "рядом" с какими точками). Дальше возможно много других структур:
- гладкая (какие точки с какими точками лежат на "гладких кривых");
- метрическая (какие расстояния между точками; это позволяет ввести "прямые" - геодезические, и углы);
- линейная (это позволяет рассматривать точки как элементы векторной алгебры)
и многое ещё всяких. Некоторые из них включают другие, некоторые между собой несовместимы.
а если там ввести расстояние, то его называют
-мерным Евклидовом пространством и обозначают
?
Расстояние можно ввести по-разному, и не только чтобы получилось евклидово пространство. Один из самых часто встречающихся способов - расстояние (метрика) на римановом многообразии. Это то, что в популярной литературе называют "искривлённое пространство" или "пространство с кривизной".
Не только расстояние, но и какое-то подобие углов.
Если введены расстояния, то из них автоматически получаются и углы. Отдельно их вводить не надо - избыточно.