Поворотом установить стол устойчиво на гладкой поверхности

[constantin]

Здравствуйте.

Дан стол с четырьмя одинаковыми параллельными ножками, расположенный на поверхности. Поверхность непрерывно дифференцируема.
Доказать, что стол можно установить устойчиво, только путем поворота стола вокруг любой его точки.
Устойчиво - т.е. все четыре ножки касаются поверхности.

Интуитивно чувствуется, что можно так установить стол. Но как формализовать решение?
Картинки со столом:
1) https://drive.google.com/file/d/0B8FmbgT0ezjWYU13b051Y3I5R3c/edit?usp=sharing
2) https://drive.google.com/file/d/0B8FmbgT0ezjWMEktOWo5WGRZZlE/edit?usp=sharing
3) https://drive.google.com/file/d/0B8FmbgT0ezjWcFBWcjFqeVZRSEk/edit?usp=sharing
4) https://drive.google.com/file/d/0B8FmbgT0ezjWRDh0UGNod1ZTUUk/edit?usp=sharing

Очень помогут любые идеи по поводу того какую теорию применить
Возможно, здесь больше матанализ чем геометрия.

Может быть знаете источник этой задачи? Или примеры решения и разборы подобных задач?

[venco]

Вокруг любой точки? Это неверно. Например, не получится, если поворачивать вокруг угла, и на расстоянии диагонали на полу круговой выступ.

[nikvic]

Если стол очень большой, а "Земля" маленькая, то места хватит только для одной ноги.

[constantin]

nikvic в сообщении #855474 писал(а):

Если стол очень большой, а "Земля" маленькая, то места хватит только для одной ноги.

Конец ножки - это точка, он не имеет площади. По большому счёту, здесь важны только четыре равноудалённые точки (концы ножек).
Через любые три точки может проходить плоскость, а вот четвёртая будет либо висеть над поверхностью, либо её протыкать, либо касаться. Нас интересует случай, когда четвёртая ножка касается поверхности. В этом случае её конец будет принадлежать поверхности, т.е. через все четыре конца ножек будет проходить плоскость параллельно крышке стола, и все четыре ножки будут касаться поверхности.
Частных случаев там очень много. Например, если стол поместить в очень маленькую эпсилон-окрестность то он тоже будет стоять всеми ножками. Но поверхность может быть любая и стол может быть любым. И размер стола фиксирован, его нельзя уменьшать или увеличивать по ходу пьесы.

-- 27.04.2014, 11:46 --

venco в сообщении #855445 писал(а):

Вокруг любой точки? Это неверно. Например, не получится, если поворачивать вокруг угла, и на расстоянии диагонали на полу круговой выступ.

Задача не в том, чтобы доказать, что можно взять любую точку стола, а в том, что его каким-то поворотом можно поставить устойчиво.
Нужно так выбирать ось поворота, чтобы получилось) Можно всегда одну и ту же, а можно разные, например, сначала повернуть вокруг центра стола, а потом вокруг ножки.

[venco]

constantin в сообщении #855645 писал(а):

venco в сообщении #855445 писал(а):

Вокруг любой точки? Это неверно. Например, не получится, если поворачивать вокруг угла, и на расстоянии диагонали на полу круговой выступ.

Задача не в том, чтобы доказать, что можно взять любую точку стола, а в том, что его каким-то поворотом можно поставить устойчиво.

Ну так и уберите из условия слово "любой".
Центр стола подходит, как и, похоже, любая точка на двух срединных перпендикулярах к сторонам. А вот никакая другая точка вращения уже не гарантирует возможности получить устойчивое положение.

[constantin]

venco в сообщении #855872 писал(а):

Ну так и уберите из условия слово "любой".

К сожалению уже нет возможности отредактировать.

[nikvic]

constantin в сообщении #855645 писал(а):

Конец ножки - это точка, он не имеет площади.

Вот имянна.
Поверхность должна быть достаточно большой. Годится график функции 2-х переменных на круге диаметром не менее диагонали квадрата.
Гладкость не нужна.