Вывод передаточной функции для сообщающихся резервуаров

[Dmitryy]

Дана система из двух резервуаров, соединенных внизу трубкой. Задача с помощью мотора, управляемого ПИД регулятором, удерживать необходимый уровень воды во втором резервуаре. Датчик уровня воды во втором резервуаре в качестве ОС присутствует. Чтобы реализовать мат.модель, необходимо найти передаточную ф-цию этой системы. Тут у меня возникает проблема и я не могу найти ошибку, может кто-то пройдет глазами по моему решению и подскажет в чем может быть проблема. Всеми потерями пренебрегаю.

Пусть $H_{1}$ и $H_{2}$ будут уровнями воды в обеих резервуарах. Соответственно скорость изменения объема жидкости будет равна разнице поступающего и уходящего объема в резервуарах.

Для первого резервуара $A_{1} \frac{\mathrm{d} H_{1}}{\mathrm{d} t}=Q_{21}-Q_{2}$

Для второго резервуара $A_{2} \frac{\mathrm{d} H_{2}}{\mathrm{d} t}=Q_{2}-Q_{21}$

Здесь $A_{1}, A_{2}$ - площади основания резервуаров $(cm^2)$
$Q_{2}$ - объем жидкости, перетекающий во второй резервуар из первого $(cm^3/s)$
$Q_{21}$ - объем жидкости, перетекающий в первый резервуар из второго $(cm^3/s)$

$Q_{21}=A_{12}\sqrt{2g(H_{2}-H_{1})}$ (из формулы Торичелли)
$A_{12}$ - поперечное сечение трубы между резервуарами $(cm^2)$

Введем коэф. чтобы немного упростить расчеты: $\alpha=A_{12} \sqrt{2g}$, тогда $Q_{21}=\alpha\sqrt{H_{2}-H_{1}}$

$A_{1} \frac{\mathrm{d} H_{1}}{\mathrm{d} t}=\alpha\sqrt{H_{2}-H_{1}}-Q_{2}$ (1)

$A_{2} \frac{\mathrm{d} H_{2}}{\mathrm{d} t}=Q_{2}-\alpha\sqrt{H_{2}-H_{1}}$ (2)
Собственно, эти 2 уравнения описывают динамику системы

В аналогичной работе с немного другой конфигурации резервуаров, для дальнейших расчетов автор использует "Linearised Perturbation Model". Допустим система находится в устойчивом состоянии с некоторыми параметрами $Q_{2}, Q_{21}, H_{1}, H_{2}$. Предположим небольшое изменение (увеличение) $q_{2}$ в объеме поступающей жидкости $Q_{2}$. Соответсвенно, это отразится на уровнях воды (в первом резервуаре уменьшится, во втором увеличится) в виде $h_{1}$ и $h_{2}$. Теперь уравнения (1) и (2) можно переписать так:

$A_{1} \frac{\mathrm{d} (H_{1}-h_{1})}{\mathrm{d} t}=\alpha\sqrt{H_{2}-H_{1}-(h_{2}-h_{1})}-(Q_{2}+q_{2})$ (3)

$A_{2} \frac{\mathrm{d} (H_{2}+h_{2})}{\mathrm{d} t}=(Q_{2}+q_{2})-\alpha\sqrt{H_{2}-H_{1}+h_{2}-h_{1}}$ (4)

Теперь отнимем (3)-(1) и (4)-(2) и получим

$-A_{1} \frac{\mathrm{d} h_{1}}{\mathrm{d} t}=\alpha\left(\sqrt{H_{2}-H_{1}-(h_{2}-h_{1})}-\sqrt{H_{2}-H_{1}}\right)-q_{2}$ , преобразуем в
$A_{1} \frac{\mathrm{d} h_{1}}{\mathrm{d} t}=q_{2}-\alpha\left(\sqrt{H_{2}-H_{1}+h_{1}-h_{2}}-\sqrt{H_{2}-H_{1}}\right)$ заметьте что под корнем $h_{1}-h_{2}$

$A_{2} \frac{\mathrm{d} h_{2}}{\mathrm{d} t}=q_{2}-\alpha\left(\sqrt{H_{2}-H_{1}+h_{2}-h_{1}}-\sqrt{H_{2}-H_{1}}\right)$

Далее в работе на которую я опирался, была выведена аппроксимация для $H\gg h$: $\sqrt{H_{2}-H_{1}+h_{2}-h_{1}}-\sqrt{H_{2}-H_{1}}\approx \frac{h_{2}-h_{1}}{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}$

Снова перезапишем уравнения

$A_{1} \frac{\mathrm{d} h_{1}}{\mathrm{d} t}=q_{2}-\frac{\alpha}{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}(h_{1}-h_{2})$

$A_{2} \frac{\mathrm{d} h_{2}}{\mathrm{d} t}=q_{2}-\frac{\alpha}{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}(h_{2}-h_{1})$

Теперь введем оператор Лапласа $s=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}$ и запишем уравнения

$A_{1} s h_{1}(s)=q_{2}(s)-\frac{\alpha}{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}h_{1}(s)+\frac{\alpha}{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}h_{2}(s)$

$A_{2} s h_{2}(s)=q_{2}(s)-\frac{\alpha}{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}h_{2}(s)+\frac{\alpha}{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}h_{1}(s)$

Перенесем часть уравнения в левую часть и вынесем за скобки

$h_{1}(s) \left (A_{1} s + \frac{\alpha}{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}\right)=q_{2}(s)+\frac{\alpha}{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}h_{2}(s)$

$h_{2}(s) \left (A_{2} s + \frac{\alpha}{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}\right)=q_{2}(s)+\frac{\alpha}{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}h_{1}(s)$

Чтобы привести к виду $(Ts+1)$ умножим все на $\frac{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}{\alpha}$

$h_{1}(s) \left (A_{1}\frac{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}{\alpha} s + 1\right)=\frac{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}{\alpha} q_{2}(s)+h_{2}(s)$

$h_{2}(s) \left (A_{2}\frac{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}{\alpha} s + 1\right)=\frac{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}{\alpha} q_{2}(s)+h_{1}(s)$

Теперь сделаем замену $\frac{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}{\alpha}=k$ и $T_{n}=A_{n} k$

$h_{1}(s) \left (T_{1} s + 1\right)=k q_{2}(s)+h_{2}(s)$

$h_{2}(s) \left (T_{2} s + 1\right)=k q_{2}(s)+h_{1}(s)$

Вот из этого я пытаюсь построить передаточную функцию $\frac{h_{2}(s)}{q_{2}(s)}$

$h_{1}(s) =\frac{k q_{2}(s)+h_{2}(s)}{T_{1} s+1}=\frac{k q_{2}(s)}{T_{1} s+1} + \frac{h_{2}(s)}{T_{1} s+1}$

$h_{2}(s) \left (T_{2} s + 1\right)=k q_{2}(s)+\frac{k q_{2}(s)}{T_{1} s+1} + \frac{h_{2}(s)}{T_{1} s+1}$

$h_{2}(s) \left (T_{2} s + 1\right) - \frac{h_{2}(s)}{T_{1} s+1}=k q_{2}(s)+\frac{k q_{2}(s)}{T_{1} s+1}$

Заменим уравнение на простое: $a c - \frac{a}{b}=d i+\frac{d i}{b}$, где $a=h_{2}(s), i=q_{2}(s)$
$\frac{a}{i}=\frac{d b+d}{c b -1}$

Получаем $\frac{h_{2}(s)}{q_{2}(s)}=\frac{k (T_{1} s+1)+k}{(T_{2} s+1)(T_{1} s+1)-1}=\frac{T_{1} k s+2k}{T_{1}T_{2}s^2+s(T_{1}+T_{2})}$

При входных начальных данных
$A_{1}=30 \cdot 20=600 (cm^2)$
$A_{2}=18 \cdot 18=324 (cm^2)$
$A_{12}=\frac{\pi d^2}{4}=\frac{\pi\cdot 1}{4}=0.785 (cm^2)$
$H_{1}=5 (cm)$
$H_{2}=20 (cm)$

Получаем
$\alpha=A_{12} \sqrt{2g}=0.785 \cdot \sqrt{2\cdot 981}=34.79$
$k=\frac{2\sqrt{H_{2}-H_{1}}}{\alpha}=\frac{2\sqrt{20-5}}{34.79}=0.2226$
$T_{1}=A_{1} \cdot k=600 \cdot 0.2226=133.59$ сек
$T_{2}=A_{2} \cdot k=324\cdot 0.2226=72.14$ сек

Итоговая функция имеет вид $W(s)=\frac{h_{2}(s)}{q_{2}(s)}=\frac{133.59 \cdot 0.2226 s+2 \cdot 0.2226}{133.59 \cdot 72.14 \cdot s^2+s(133.59+72.14)}=\frac{29.657 s+0.4452}{9637.18 s^2+205.73 s}$

Вот график из Mathematica, можно увидеть что он ненормальный какой-то. Надеюсь кто-нибудь откликнется

[soldatenkoes]

Итак, начнем с уравнений (1), (2). Правые части этих уравнений отличаются лишь знаком. Поэтому эти два уравнения можно свести к одному.
Имеем

$A_{1} \frac{\mathrm{d} H_{1}(t)}{\mathrm{d} t}=-A_{2} \frac{\mathrm{d} H_{2}(t)}{\mathrm{d} t}$

Отсюда выразим $H_{1}(t)$ через $H_{2}(t)$:

$\frac{\mathrm{d} H_{1}(t)}{\mathrm{d} t}=-\frac{A_{2}}{A_{1}} \frac{\mathrm{d} H_{2}(t)}{\mathrm{d} t}$

$H_{1}(t)=-\frac{A_{2}}{A_{1}} H_{2}(t)+C$

Константу $C$ найдем из номинальных значений уровней $\overline{H}_{1}$ и $\overline{H}_{2}$

$C=\overline{H}_{1}+\frac{A_{2}}{A_{1}}\overline{H}_{2}$

Тогда

$H_{1}(t)=-\frac{A_{2}}{A_{1}} H_{2}(t)+\overline{H}_{1}+\frac{A_{2}}{A_{1}}\overline{H}_{2}$

Подставляя в уравнение (2), получим дифференциальное уравнение первого порядка (а значит и передаточная функция будет первого порядка), описывающее динамику системы:

$A_{2} \frac{\mathrm{d} H_{2}(t)}{\mathrm{d} t}=Q_{2}(t)-\alpha\sqrt{(1+\frac{A_{2}}{A_{1}} )H_{2}(t)-\overline{H}_{1}-\frac{A_{2}}{A_{1}}\overline{H}_{2}}$

Для получения передаточной функции необходимо полученное дифференциальное уравнение линеаризовать. Для этого представим $H_{2}(t)$ и $Q_{2}(t)$ как функции малого отклонения от номинальных значений, т.е.

$H_{2}(t)=\overline{H}_{2}+h_2(t)$

$Q_{2}(t)=\overline{Q}_{2}+q_2(t)$

Номинальные значения связаны между собой:

0=\overline{Q}_{2}-\alpha\sqrt{(1+\frac{A_{2}}{A_{1}} )\overline{H}_{2}-\overline{H}_{1}-\frac{A_{2}}{A_{1}}\overline{H}_{2}}$

Откуда

\overline{Q}_{2}=\alpha\sqrt{\overline{H}_{2}-\overline{H}_{1}}$

Подставляя $H_{2}(t)=\overline{H}_{2}+h_2(t)$ и $Q_{2}(t)=\alpha\sqrt{\overline{H}_{2}-\overline{H}_{1}}+q_2(t)$ в дифференциальное уравнение, получим

$A_{2} \frac{\mathrm{d} h_{2}(t)}{\mathrm{d} t}=\alpha\sqrt{\overline{H}_{2}-\overline{H}_{1}}+q_2(t)-\alpha\sqrt{(1+\frac{A_{2}}{A_{1}} )(\overline{H}_{2}+h_2(t))-\overline{H}_{1}-\frac{A_{2}}{A_{1}}\overline{H}_{2}}$

или

$A_{2} \frac{\mathrm{d} h_{2}(t)}{\mathrm{d} t}=q_2(t)-\alpha(\sqrt{(1+\frac{A_{2}}{A_{1}} )h_2(t)+\overline{H}_{2}-\overline{H}_{1}}-\sqrt{\overline{H}_{2}-\overline{H}_{1}})$

Линейное приближение функции $f(x)=\sqrt{kx+C}-\sqrt{C}$ в окрестности нуля (два первых члена разложения в ряд Тейлора):

$f(x)=\sqrt{kx+C}-\sqrt{C}\approx\frac{kx}{2\sqrt{C}}$

Тогда линеаризованное уравнение примет вид

$A_{2} \frac{\mathrm{d} h_{2}(t)}{\mathrm{d} t}=q_2(t)-\alpha\frac{1+\frac{A_2}{A_1}}{2\sqrt{\overline{H}_{2}-\overline{H}_{1}}}h_2(t)$

или

$\frac{\mathrm{d} h_{2}(t)}{\mathrm{d} t}=\frac{1}{A_2}q_2(t)-\frac{\alpha(A_1+A_2)}{2A_1A_2\sqrt{\overline{H}_{2}-\overline{H}_{1}}}h_2(t)$

Обозначим $a=\frac{\alpha(A_1+A_2)}{2A_1A_2\sqrt{\overline{H}_{2}-\overline{H}_{1}}}$ и $b=\frac{1}{A_2}$ . Тогда

$\frac{\mathrm{d} h_{2}(t)}{\mathrm{d} t}=-ah_2(t)+bq_2(t)$

Отсюда передаточная функция равна

$\frac{h_2(s)}{q_2(s)}=\frac{b}{s+a}$

[Dmitryy]

Огромное спасибо за решение и потраченное Вами время!