Колеблемость решений диффура 2 порядка

[Epic Fail]

Дано уравнение
$y''+q(t)y=0$
Какие существуют необходимые и/или достаточные условия на функцию $q(t)$ для колеблемости всех его решений, где можно найти доказательства соответствующих теорем и критериев? (к библиотеке сейчас нет доступа, поэтому и пишу сюда)

[mihailm]

(Оффтоп)

Epic Fail в сообщении #854873 писал(а):

...для колеблемости...

Лучше звучит - "колебаемости"

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом, непонятный термин

Epic Fail
Наберите все формулы и термы $\TeX$ом.
Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
Если термин не является общепринятым, определите его.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[SpBTimes]

Что-то типа теоремы Штурма что ли?

[Epic Fail]

Наверное, Вы имели ввиду задачу Штурма-Лиувилля и формулируемые в этой связи утверждения о расстоянии между нулями различных решений? Это не совсем то.

Мой вопрос касается асимптотики при $t \to \infty$

"Теорема Кнезера: достаточное условие колеблемости решений."
"Критерий В.А.Кондратьева (никакого отношения к предельным циклам) неколеблемости всех решений линейного уравнения второго порядка на интервале и его следствия (критерий М.И.Ельшина, критерий Кнезера)."

Под колеблющимся решением понимается решение $u(t)$, имеющее последовательность нулей (как "точек вещественной оси"), сходящуюся к $+\infty$.

[SpBTimes]

Нет, я имел в виду именно теорему Штурма. Откройте книгу по ОДУ

[Epic Fail]

"Нули двух линейно независимых решений уравнения

$y''+p(x)y'+q(x)y=0$

взаимно разделяют друг друга."

То есть если одно решение колеблется на отрезке, то колеблется и другое, правильно я понимаю?

Если да, то это не даёт ответа на вопрос о качественном поведении решений уравнения второго порядка. Например, есть теорема Шпета (нашёл в Степанове):

"Если в уравнении

$$ y'' + q(t)y=0 \eqno (1) $$

выполнено условие $q(t)=O\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle t^{k+2}}\right)$, где $k>0$ и $0 \leq t<\infty$, то уравнение $(1)$ обладает такой фундаментальной системой решений $y_1$, $y_2$, что $y_1(t)-1=O\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle t^{k}}\right)$ и $y_2(t)-t=O\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle t^{k-1}}\right)$ при $k\ne 1$ и $y_2(t)-t = O(\ln t)$ при $k=1$"

Например, уравнение $y''+t^{-4}y=0$ имеет фундаментальную систему решений $y_1 = t \sin\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle t}$ и $y_2 = t \sin\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle t}$. Оба этих решения являются неколеблющимися при $t \to \infty$ и $y_1 = 1+O\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle t^{2}}\right), \quad y_2 = t+O\left(\frac{\displaystyle 1}{\displaystyle t}\right)$

Меня интересуют как раз условия на функцию $q(t)$ подобного типа, но только чтобы решения, напротив, были колеблющимися.

То есть, скажем, если $q(t) \geq q_0>0$, ограничено сверху и $\int_0^\infty q'(s) ds < \infty$, то все решения уравнения $(1)$ колеблются. Это доказанный факт. Мне нужно узнать, как именно он доказывается.

[V.V.]

http://vvtrushkov.narod.ru/ode.pdf

[Epic Fail]

Огромное спасибо! Всё, что нужно для счастья!