Как проверить правильность взятия производной?

[dinamo-3]

Вот такой примерчик:

$$y=\left (\sqrt {e^{3x}+5x}\right )'=\left ((e^{3x}+5x)^{\frac{1}{2}}\right )'=\frac{1}{2}(e^{3x}+5x)^{-\frac{1}{2}}\cdot (e^{3x}+5x)'=\frac{1}{2}(e^{3x}+5x)^{-\frac{1}{2}}\cdot (3e^{3x}+5)=\frac{3e^{3x}+5}{2\sqrt{e^{3x}+5x}}$$

И возникает два вопроса:
1. Правильно ли взята производная?
2. Как определить правильность взятия производной?
Заранее благодарен.

[Otta]

1. Правильно.
2. Распространенный способ - воспользоваться матпакетами. Или хотя бы их урезанными онлайн-версиями.

Что не значит, что не нужно уметь это делать ручками.

[Ismatulla]

Производная взята правильно.
Простого пути проверки нет.
Можно проинтегрировать ответ, если получите первоначальную функцию, значит правильно.

Есть и другой путь - численный, по формуле $y'(x) = (y(x)-y(x_0))/(x-x_0)$ Для этого вам понадобиться инженерный калькулятор. Вычислите полученную вами производную, например, при $x = 1$.

Далее, первоначальную функцию тоже вычислите при $x = 1$, и ещё при $x = 1.01$.

Потом вычислите $(y(1.01)-y(1))/0.01$. Если полученное значение примерно равно значению производной в точке $x = 1$ (которую вы уже вычислили), то производная взята правильно.

[bot]

(Оффтоп)

dinamo-3 в сообщении #853745 писал(а):

Как определить правильность взятия производной?

Деление проверяют умножением, умножение - делением. Интегрирование проверяют дифференцированием, а дифференцирование можно проверить интегрированием. (с) кэп

Ismatulla в сообщении #853764 писал(а):

Простого пути проверки нет.

А вопроса на такой ответ не было.

[dinamo-3]

Ismatulla в сообщении #853764 писал(а):

Производная взята правильно.
Простого пути проверки нет.
Можно проинтегрировать ответ, если получите первоначальную функцию, значит правильно.

Есть и другой путь - численный, по формуле $y'(x) = (y(x)-y(x_0))/(x-x_0)$ Для этого вам понадобиться инженерный калькулятор. Вычислите полученную вами производную, например, при $x = 1$.

Далее, первоначальную функцию тоже вычислите при $x = 1$, и ещё при $x = 1.01$.

Потом вычислите $(y(1.01)-y(1))/0.01$. Если полученное значение примерно равно значению производной в точке $x = 1$ (которую вы уже вычислили), то производная взята правильно.

Спасибо. Всё получилось.
$y(1)=5,008546388$
$y(1,01)=5,074173094$
$y'(1)=\frac{y(x)-y(x_0)}{x-x_0}=6,5626706$
$y'(1)=6,514525943$ меньше на $0,048144657$
$y'(1,01)=6,611096678$ больше на $0,048426078$
а если взять $y'(1,005)=6,562600231$ меньше на $0,000070369$ или на $-0,00107\%$
Но здесь должна быть небольшая разница между $x$ и $x_0$

[ИСН]

Это изврат. Один раз так сделать полезно (для правильного интуитивного ощущения, что такое производная), а регулярно - не надо.
Производную можно проверять железкой, можно не проверять никак. Это простое, базовое понятие. Интеграл - вот он сложный; его проверяют взятием производной. А производную зачем? Ну, есть признаки для частных случаев: производная от чётной функции - нечётная, и наоборот...

[Ismatulla]

ИСН в сообщении #853817 писал(а):

Это изврат.

Согласен.

-- 24.04.2014, 15:36 --

dinamo-3 в сообщении #853809 писал(а):

Но здесь должна быть небольшая разница между $x$ и $x_0$

Да, формула для численного вычисления производной приблизительная. Чем разница между $x$ и $x_0$ меньше, формула тем точнее.

[dinamo-3]

ИСН в сообщении #853817 писал(а):

Это изврат. Один раз так сделать полезно (для правильного интуитивного ощущения, что такое производная), а регулярно - не надо.
Производную можно проверять железкой, можно не проверять никак. Это простое, базовое понятие. Интеграл - вот он сложный; его проверяют взятием производной. А производную зачем? Ну, есть признаки для частных случаев: производная от чётной функции - нечётная, и наоборот...

Если производная сложная, то проверка необходима ... ручками. С интегралом - согласен.

[svv]

dinamo-3 в сообщении #854494 писал(а):

проверка необходима ... ручками

Причем необязательно своими.