эрмитова (комплексная матрица), собственные значения

[ilyagoo]

дана эрмитова матрица, например
$A=\left(\begin{array}{ccc} {1}1& i& 1+i\\ -i& -2& 3i\\ 1-i& -3i& 1\end{array} \right)
нужно найти ее собственные значения и векторы
в лит-ре описаны только вещественные матрицы, в частности приведение к трехдиагональному виду, но в случае с комплексными числами, по-моему, это не работает, но пишут, что этот алгоритм нужно несколько видоизменить.
вопрос каким образом?
прошу не оставлять ссылки на программы на фортране и т.д.
очень прошу помочь с алгоритмом, заранее спасибо[/math]

[Brukvalub]

Нужно делать в точности так же, как и в вещественном случае.

[ilyagoo]

Brukvalub писал(а):

Нужно делать в точности так же, как и в вещественном случае.

в этом-то вся загвоздка
матрица
$ A=P^THP, P^TP=E$
$H$ - матрица Хессенберга (трехдиагонльная), а нужно найти $P$
$P=E-2vv^T/(v^Tv)
как выбрать $v$?

если $v=x+\alpha e, x$ - столбец с обнуляемыми элементами,
$\alpha $- знак $x_1$, $e$ - орт,
получается $v=\left\{ 2; -i; 1-i \right\}$, тогда $P^TP=E$, но совсем не похоже на то, что выдает MatLab и $PAP^T$ уж совсем не то, что нужно - получается хлам, а должны обнуляться элементы (причем за одну итерацию)

что я делаю не так?

[Brukvalub]

Сначала Вы писали:

ilyagoo писал(а):

нужно найти ее собственные значения и векторы

Потом задача поменялась:

ilyagoo писал(а):

в этом-то вся загвоздка
матрица A=P'HP, P'P=E
H - матрица Хессенберга (трехдиагонльная), а нужно найти P

Так что же Вам все-таки нужно найти? Я комментировал первый вопрос.

[нг]

ilyagoo
На форуме принято записывать формулы, используя нотацию ($\TeX$; введение, справка).

Пожалуйста, исправьте и сообщите модератору (ЛС).

[нг]

Возвращаю

[ilyagoo]

Brukvalub писал(а):

Так что же Вам все-таки нужно найти? Я комментировал первый вопрос.

Насколько я понял, сначала нужно привести эрмитову матрицу к трехдиагональному виду, а потомQR разложением найти собственные значения и векторы. но на первом же шаге я терплю неудачу, что я делаю не так?
кстати, а собственные значения могут быть комплексными, или они должны быть вещественными?

[ilyagoo]

господа, обладает ли, все-таки, кто-нибудь из вас столь ценными для меня знаниями по нахождению собственных значений и векторов комплексной эрмитовой матрицы? огромная просьба поделиться:)

[Fgolm]

ilyagoo писал(а):

кстати, а собственные значения могут быть комплексными, или они должны быть вещественными?

Собственные значения точно могут быть комплексными.
Я лично находил с помощью $QR$ алгоритма собственные значения только для матриц с действительными элементами, но с комплексными собственными значениями. В этом случае $QR$ алгоритм дает возможность совершенно четко определять такие собственные значения.

Добавлено спустя 21 минуту 13 секунд:

А если представить Вашу матрицу в виде суммы двух, одна из которых умножена на комплексную единицу?
И затем уже работать с каждой действительной матрицей по отдельности.

[ilyagoo]

почитал тут еще литературку, все-таки собственные числа у такой матрицы могут быть только вещественными, но как их найти все еще не понятно, продолжаем обсуждение:)

[Fgolm]

Вещественные потому, что матрица эрмитова.
Я сразу на этом не сконцентрировал внимание.

[Brukvalub]

ilyagoo писал(а):

как их найти все еще не понятно

Да что тут понимать-то? Решаем вековое уравнение

\[\det (A - \lambda E) = 0\]

и получаем собственные числа.

[Yuri Gendelman]

ilyagoo писал(а):

господа, обладает ли, все-таки, кто-нибудь из вас столь ценными для меня знаниями по нахождению собственных значений и векторов комплексной эрмитовой матрицы? огромная просьба поделиться:)

Такими знаниями обладал, например, Уилкинсон, каковыми знаниями он поделился в своих книгах:
- Дж.X.Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. 1970
- Райнш, Уилкинсон. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра.1976

Первая книга - это монография. Вторая - справочник, с программами НЕ на фортране. К каждому алгоритму есть достаточно подробное описание и реализация на давно забытом Алголе-60.

Мне лично всегда было достаточно того, что алгоритм описан у Уилкинсона, а вычисления можно выполнить с помощью подпрограмм из стандартных пакетов.

[ilyagoo]

Brukvalub писал(а):

ilyagoo писал(а):

как их найти все еще не понятно

Да что тут понимать-то? Решаем вековое уравнение

\[\det (A - \lambda E) = 0\]

и получаем собственные числа.

я бы решил это эравнение, не будь матрица размерностью 100*100, например, а 100 корней как-то не охота численно находить. та матрица 3*3 - только пример, чтобы понять, как считать на бумажке.

Yuri Gendelman писал(а):

Такими знаниями обладал, например, Уилкинсон, каковыми знаниями он поделился в своих книгах:
- Дж.X.Уилкинсон. Алгебраическая проблема собственных значений. 1970

спасибо за совет, сейчас скачаю - взгляну, но что-то мне подсказывает, что там то же, что и везде:)

[Zai]

ilyagoo писал(а):

матрица размерностью 100*100

Lapack
http://alglib.sources.ru/eigen/hermitia ... ianevd.php
НИВЦ МГУ
http://www.srcc.msu.ru/num_anal/lib_na/ ... nt_ae5.htm