Сходимость несобственного интеграла (определение)

[Ilnur]

Как известно, интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ сходится, если сходятся интегралы $\int\limits_{-\infty}^{c}f(x)dx$, $\int\limits_{c}^{+\infty}f(x)dx$. Верно ли то, что данный интеграл расходится, если даже оба этих интегралов равны бесконечности разных знаков, как в примере
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{2x}{x^2+1}dx$?

[Brukvalub]

Ilnur писал(а):

Как известно, интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ сходится, если сходятся интегралы $\int\limits_{-\infty}^{c}f(x)dx$, $\int\limits_{c}^{+\infty}f(x)dx$. Верно ли то, что данный интеграл расходится, если даже оба этих интегралов равны бесконечности разных знаков, как в примере $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{2x}{x^2+1}dx$?

Уже первое Ваше утверждение справедливо не всегда - нужно дополнительно потребовать, чтобы несобственный интеграл не имел особенностей в точках вещ. оси. Вы пишите:
"Верно ли то, что данный интеграл расходится, если даже оба этих интегралов равны бесконечности разных знаков"? - нет, это, по определению, не влечет сходимости в классическом смысле. Но есть ещё сходимость в смысле главного значения, вот как раз в смысле главного значения с центром в нуле этот интеграл равен 0.

[Ilnur]

Да, я забыл сказать, что подынтегральная функция непрерывна.

Правильно ли понял, что интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ расходится классическом смысле если расходятся один из интегралов $\int\limits_{-\infty}^{c}f(x)dx$, $\int\limits_{c}^{+\infty}f(x)dx$?

[Brukvalub]

Вы правильно поняли.