2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сходимость несобственного интеграла (определение)
Сообщение07.11.2007, 16:01 
Как известно, интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ сходится, если сходятся интегралы $\int\limits_{-\infty}^{c}f(x)dx$, $\int\limits_{c}^{+\infty}f(x)dx$. Верно ли то, что данный интеграл расходится, если даже оба этих интегралов равны бесконечности разных знаков, как в примере
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{2x}{x^2+1}dx$?

 
 
 
 Re: Несобственный интеграл
Сообщение07.11.2007, 16:29 
Аватара пользователя
Ilnur писал(а):
Как известно, интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ сходится, если сходятся интегралы $\int\limits_{-\infty}^{c}f(x)dx$, $\int\limits_{c}^{+\infty}f(x)dx$. Верно ли то, что данный интеграл расходится, если даже оба этих интегралов равны бесконечности разных знаков, как в примере
$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\frac{2x}{x^2+1}dx$?
Уже первое Ваше утверждение справедливо не всегда - нужно дополнительно потребовать, чтобы несобственный интеграл не имел особенностей в точках вещ. оси. Вы пишите:
"Верно ли то, что данный интеграл расходится, если даже оба этих интегралов равны бесконечности разных знаков"? - нет, это, по определению, не влечет сходимости в классическом смысле. Но есть ещё сходимость в смысле главного значения, вот как раз в смысле главного значения с центром в нуле этот интеграл равен 0.

 
 
 
 
Сообщение07.11.2007, 18:01 
Да, я забыл сказать, что подынтегральная функция непрерывна.

Правильно ли понял, что интеграл $\int\limits_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ расходится классическом смысле если расходятся один из интегралов $\int\limits_{-\infty}^{c}f(x)dx$, $\int\limits_{c}^{+\infty}f(x)dx$?

 
 
 
 
Сообщение07.11.2007, 19:53 
Аватара пользователя
Вы правильно поняли.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group