Не сложное в доказательстве утверждение. Как пример решения обратных задач с использованием ВТФ
Если рассматривать функцию

с шагом по

равным

, то любой шаг по

,
![$ \delta_i=\sqrt[n]{y+1}-\sqrt[n]{y} $ $ \delta_i=\sqrt[n]{y+1}-\sqrt[n]{y} $](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/e/1/4e14a525f05b02ab27d80a66334cc44382.png)
будет иррациональным. Сумма непрерывной последовательности шагов по аргументу (X) при единичном шаге по

,
![$$S(\delta)=\sum^{k}_0 {\delta_i}=\sqrt[n]{y+k}-\sqrt[n]{y},$$ $$S(\delta)=\sum^{k}_0 {\delta_i}=\sqrt[n]{y+k}-\sqrt[n]{y},$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/9/2/a926af053bbbeee51293a576848d1fff82.png)
Эта сумма равна натуральному числу, если оба корня натуральны. Утверждение: Количество шагов последовательности не может быть степенью с натуральным основанием при

, если сумма шагов равна натуральному числу и если второе число начального шага
![$\sqrt [n]{y}\neq{o}$ $\sqrt [n]{y}\neq{o}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/7/2d758d801817761c1e76a43ca8092f7382.png)
. Доказательство. В этом случае количество шагов последовательности является приращением к степени с натуральным основанием , поэтому согласно ВТФ не может быть степенью при указанных начальных условиях.