2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение30.10.2007, 18:12 


10/03/07
59
Казань
Еще можно вот так:
$ 2 xyz + xy+yz+zx  \geqslant (xyz)^2+4/9  (xy+yz+zx)^2 $

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2007, 13:32 


10/03/07
59
Казань
Можно ли предыдущее неравенство решить тем же способом, т.е. свести к неравенству Шура? Мне кажется, нет.
Кроме того:
уже предлагавшееся мной неравенство
1). $ xyz \leqslant 2/3 (xy+yz+zx)-1$
выполняющееся для всех $x,y,z \geqslant 0, x+y+z=3$ при дополнительном условии
$1/2 \leqslant xyz$
выполняется для сторон треугольника без дополнительного условия.
Это неравенство для сторон треугольника (при $x,y,z \geqslant 0, x+y+z=3$) можно усилить двояко:
2). $xy+yz+zx \geqslant 9/5 +6/5 xyz$,
3). $xy+yz+zx \geqslant 9/4 +2/3 xyz$.
В 2) равенство наступает, когда в равнобедренном треугольнике сумма двух сторон равна третьей, а также для равностороннего треугольника. В 3) – всегда, когда сумма двух сторон равна третьей.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2007, 16:32 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Скорцонер писал(а):
Еще можно вот так:
$ 2 xyz + xy+yz+zx  \geqslant (xyz)^2+4/9  (xy+yz+zx)^2 $

Скорцонер писал(а):
Можно ли предыдущее неравенство решить тем же способом, т.е. свести к неравенству Шура? Мне кажется, нет.

Оно эквивалентно вот этому
$$\sum_{cyc}(x^5y+x^5z+7x^4yz-2x^3y^3+8x^3y^3z+8x^3z^2y-23x^2y^2z^2)\geq0,$$
что ещё проще.
Скорцонер писал(а):

Кроме того:
уже предлагавшееся мной неравенство
1). $ xyz \leqslant 2/3 (xy+yz+zx)-1$
выполняющееся для всех $x,y,z \geqslant 0, x+y+z=3$ при дополнительном условии
$1/2 \leqslant xyz$
выполняется для сторон треугольника без дополнительного условия.

Если положить $x=b+c, $y=a+c$ и $z=a+b,$
то ваше неравенство эквивалентно следующему:
$$\sum_{cyc}(4a^3-3a^2b-3a^2c+2abc)\geq0,$$ что очевидно верно.
Скорцонер писал(а):
Это неравенство для сторон треугольника (при $x,y,z \geqslant 0, x+y+z=3$) можно усилить двояко:
2). $xy+yz+zx \geqslant 9/5 +6/5 xyz$,

С той же заменой получаем, что оно эквивалентно неравенству Шура:
$$\sum_{cyc}(a^3-a^2b-a^2c+abc)\geq0.$$
Скорцонер писал(а):
3). $xy+yz+zx \geqslant 9/4 +2/3 xyz$.

А это эквивалентно $3\geq2\frac{2}{3}.$
Кстати, ваше "универсальное неравенство" здорово помогает вот здесь:
http://dxdy.ru/viewtopic.php?t=9765
Правда, предварительно там нужно заметить что-то.

 Профиль  
                  
 
 Re: Discriminant hypothesis
Сообщение13.03.2008, 12:59 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
Скорцонер писал(а):
Введем переменные:
$$P= 1/2T_3 -1/2T_2+1,  
Q=1-1/3T_2 $$
Само неравенство:
$P^2 \leqslant  Q^3$

Sasha Rybak писал(а):
Наверно, это условие неотрицательности дискриминанта многочлена $x^3-T_1 x^2+T_2 x-T_3$, равносильное тому, что x, y, z - действительны.

Скорцонер писал(а):
Конечно, так и есть. Вы, Саша, даже никому подумать не дали. Так тоже нечестно.

Что-то не выходит каменный цветок.
Дискриминант полинома $x^3-T_1 x^2+T_2 x-T_3$ равен:
$$\Delta = - 4 T_2^3 + T_1^2 T_2^2 + 18 T_1 T_2 T_3 - 4 T_1^3 T_3 - 27 T_3^2,$$
в то время как
$$Q^3 - P^2 = \left(1-\frac{1}{3} T_2\right)^3 - \left(\frac{1}{2} T_3 - \frac{1}{2} T_2 + 1\right)^2 = \frac{1}{108} \left( 9 T_2^2 - 4 T_2^3 -27 T_3^2 + 54 T_2 T_3 - 108 T_3\right).$$
С дискриминантом у этого выражения наблюдается всего лишь 2 общих члена.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение03.05.2009, 00:10 


03/05/09
45
Минск, Беларусь
Скорцонер, ответ к 4-ому посту.
Я, вроде, слабо понимаю в многочленах и пр.
Может, в каждой дроби числитель и знаменатель домножить на числитель ( (a^2)/(b^2a + 5) ... ) , после по следствию из неравенства Коши-Буняковского ( 9/(a*b^2 + bc^2 + a^2c + 15) => 1/2 ), после в знаменателе по Коши-Буняковскому ab^2 + bc^2 + a^2c Легко получим <= 3.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение04.05.2009, 07:32 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
BanmaN писал(а):
, после в знаменателе по Коши-Буняковскому ab^2 + bc^2 + a^2c Легко получим <= 3.

которое неверно. :cry: Проверьте $$a=1,$$ $$b=2$$ и $$c=0.$$ :wink:

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение09.05.2009, 19:48 


03/05/09
45
Минск, Беларусь
Ой, точно, извините :roll:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 22 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group