Очередная конференция по финслеровой геометрии

[Time]

Ведется подготовка к очередной 10-й конференции по финслеровой геометрии и ее применениям к расширениям теории относительности - FERT-2014:

http://www.unitbv.ro/fmi/CercetareStiin ... T2014.aspx

Она планируется с 18 по 23 августа этого года в Румынском университете г.Брашов (Трансильвания). Предполагают быть многие специалисты по финслеровой геометрии, в том числе Ж.Шен и Д.Бао.

Я знаю, что многие участники данного форума, мягко говоря, с недоверием относятся лично ко мне, но в данном случае, речь идет о вполне академическом мероприятии.

Что касается моих интересов, то они лежат в области таких финслеровых пространств, которым соответствуют алгебры гиперкомплексных чисел, прежде всего тех, которые представляют собой прямые суммы n вещественных и m комплексных алгебр. Если у кого-то есть похожие интересы - можно попробовать организовать финансовую поддержку для участия в анонсированной конференции, а так же готов к обсуждению научных и организационных моментов, как на страницах данного форума, так и в личной переписке.

[bayak]

Time, а Вы не пробовали затенить две координаты пространства Бервальда-Моора? Понятно, что если их убрать полностью, то останется только псевдоевклидова плоскость. А можно ведь представить, что они есть, но их не видно. Тогда траектория материальной точки, бороздящей просторы пространства Б-М, проектируется на псевдоевклидову плоскость, но её истинная длина не равна псевдоевклидовой длине. На самом деле, она равна финслеровой длине, которая в физическом мире (редуцированном до псевдоевклидовой плоскости) соответствует (как мне кажется) действию материальной точки, и поэтому вычисляется как интеграл по пути, пройденому материальной точкой на плоскости.

Если принять такую концепцию физического мира, то тут вполне естественно возникает обратная задача, - какому финслерову пространству соответствует удвоенное пространство Минковского. Вы не задавались такими вопросами?

[Time]

bayak в сообщении #852070 писал(а):

Time, а Вы не пробовали затенить две координаты пространства Бервальда-Моора? Понятно, что если их убрать полностью, то останется только псевдоевклидова плоскость. А можно ведь представить, что они есть, но их не видно.

Как это не пробовали? Да большая часть наших исследований, результатов и выводов строятся именно на таком приеме. Дело в том, что четырехмерное пространство Бервальда-Моора имеет сугубо финслерову (вернее псевдофинслерову) метрику, а его двумерный частный случай, действительно, изоморфен псевдоевклидовой плоскости. Тут можно и о финслеровых особенностях не заморачиваться, и к обычным геометрии с физикой быть поближе. Самое интересное, что даже в этом двумерном частном случае есть моменты, которые не совсем вписываются в современные представления, вернее, они дополняют их. Например, двумерная СТО, которая есть частный случай общепризнанной четырехмерной СТО, в двумерии естественным образом дополняется до конформного расширения СТО, когда дополнительно к линейным (иногда используются дробнолинейные) преобразованиям рассматриваются и не линейные конформные преобразования псевдоевклидовой плоскости, множество которых бесконечнопараметрическое.
В наиболее компактном и полном виде наши результаты в данном направлении докладывались на семинаре в РУДН год назад в присутствии известного математика и физика сэра Роджера Пенроуза:
http://www.youtube.com/watch?v=NY7L7MRKlXo
Тут комментарий Пенроуза на этот доклад:
http://www.youtube.com/watch?v=NY7L7MRKlXo
а тут текстовая расширенная версия доклада в виде статьи "Алгебра, геометрия и физика двойных чисел":
http://www.logos-distant.ru/article/art4/art1.html

Цитата:

Тогда траектория материальной точки, бороздящей просторы пространства Б-М, проектируется на псевдоевклидову плоскость, но её истинная длина не равна псевдоевклидовой длине.

Основным геометрическим (и физическим) объектом пространств Бервальда-Моора, вообще, и его двумерного случая, в частности, являются вовсе не материальные частицы, как в обычной физике, а, если так можно выразиться, элементарные события, представляющие собой сингулярные изотропные конуса, вершины которых ассоциируются с точками расположения событий в пространстве-времени. Прийти к математическому описанию простейшего сингулярного события (аналог одиночного точечного заряда на комплексной плоскости) можно, если правильно записать уравнение Пуассона на псевдоевклидовой плоскости с аналогом дельта-функции в правой части. Решением такого уравнения оказывается вещественная часть логарифмической функции от двойного числа, точно так же как решением уравнения Пуассона на комплексной плоскости с обычной дельта-функцией в правой части так же оказывается вещественная часть логарифмической функции, но от комплексных чисел. Если на евклидовой плоскости такое фундаментальное решение интерпретируют как кулоновский потенциал двумерного точечного заряда, то на псевдоевклидовой плоскости аналогичное решение можно рассматривать как гиперболический аналог кулоновского потенциала, создаваемого одиночным гиперболическим зарядом, то есть, тем самым элементарным сингулярным событием, понятие которого призвано заменить на псевдоевклидовой плоскости понятие заряженной частицы в двумерных задачах на евклидовой плоскости.
Вокруг себя одиночное сингулярное событие создает пространственно-временное поле, названное нами гиперболическим. Данное поле не силовое, оно влияет на другие элементарные события не посредством силы, а через изменение параметров времени, в которое все события погружены. Это поле в простейших случаях потенциально и соленоидально (естественно, в гиперболическом смысле данных понятий) везде, где нет элементарных событий.
На псевдоевклидовой плоскости в отношении гиперболических зарядов элементарных событий вообще наблюдаются масса совпадений с теорией комплексного потенциала на евклидовой плоскости. Можно даже ввести аналоги таких фундаментальных понятий, как энергия поля (в данном случае, гиперболического поля и это не совсем энергия, а именно аналог, причем во многом отличающийся от обычной энергии) и аналог потенциальной энергии взаимодействия гиперболических зарядов (в докладе и статье об этом нет).
В любом случае, физика пространств Бервальда-Моора, это не физика элементарных частиц, а физика элементарных событий, что на мой взгляд, очень существенное отличие. Так что, Ваше предложение на счет траектории материальной точки для нашей логики не является основополагающим построением. Тут нужно следить не за траекториями частиц, а за ансамблями элементарных событий. Мировые же линии частиц тут уместно заменить времениподобными цепочками сингулярных событий..

Цитата:

На самом деле, она равна финслеровой длине, которая в физическом мире (редуцированном до псевдоевклидовой плоскости) соответствует (как мне кажется) действию материальной точки, и поэтому вычисляется как интеграл по пути, пройденому материальной точкой на плоскости.

Я так не думаю. Если уж понятие энергии поля и потенциальной энергии взаимодействия частиц в пространствах Бервальда-Моора естественно заменить на их гиперболические аналоги для элементарных событий, то и понятие действия, на мой взгляд, так же требует своей замены на гиперболический аналог и не для частиц, а для элементарных событий.

Цитата:

Если принять такую концепцию физического мира, то тут вполне естественно возникает обратная задача, - какому финслерову пространству соответствует удвоенное пространство Минковского. Вы не задавались такими вопросами?

Под удвоенным пространством Минковского Вы понимаете то же самое, что и пространство Минковского, но с комплексными четырьмя координатами вместо вещественных? Если да, то мне такое пространство не интересно, оно не обладает бесконечно-параметрическим множеством конформных преобразований как евклидова и псевдоевклидова плоскости, а так же вещественные и комплексные пространства Бервальда-Моора и потому с ним не возможно связать коммутативно-ассоциативные алгебры гиперкомплексных чисел, как с перечисленными выше. Без алгебры же нет возможности построить гиперкомплексные потенциалы, а без последних нет места для гиперболического поля и гиперболических зарядов. Кому-то может такие многообразия и интересны, но мне - нет. Поэтому ответ на Ваш вопрос отрицательный. Комплексным пространством Минковского мы не занимались.
Однако такими пространствами занимаются мои друзья из других стран. В частности один из организаторов конференции FERT-2014 Геогий Мунтяну и его коллега Мариус Паун много исследовали такое финслерово пространство, как комплексное пространство Минковского. Могу дать их электронные адреса или познакомить вживую.

[bayak]

Time в сообщении #852089 писал(а):

Под удвоенным пространством Минковского Вы понимаете то же самое, что и пространство Минковского, но с комплексными четырьмя координатами вместо вещественных? Если да, то мне такое пространство не интересно, оно не обладает бесконечно-параметрическим множеством конформных преобразований как евклидова и псевдоевклидова плоскости, а так же вещественные и комплексные пространства Бервальда-Моора и потому с ним не возможно связать коммутативно-ассоциативные алгебры гиперкомплексных чисел, как с перечисленными выше. Без алгебры же нет возможности построить гиперкомплексные потенциалы, а без последних нет места для гиперболического поля и гиперболических зарядов. Кому-то может такие многообразия и интересны, но мне - нет. Поэтому ответ на Ваш вопрос отрицательный. Комплексным пространством Минковского мы не занимались.
Однако такими пространствами занимаются мои друзья из других стран. В частности один из организаторов конференции FERT-2014 Геогий Мунтяну и его коллега Мариус Паун много исследовали такое финслерово пространство, как комплексное пространство Минковского. Могу дать их электронные адреса или познакомить вживую.

Почему Вы решили, что с комплексным пространством Минковского нельзя связать алгебру, обладающую бесконечнопараметрическими конформными симметриями соответствующего ей 8-мерного финслерова пространства? По крайней мере у меня получается богатое семейство комплексных потенциалов, обладающих этими симметриями.

Что касается Ваших коллег, то буду признателен, если поделитесь со мной их адресами.

[Time]

bayak в сообщении #852101 писал(а):

Почему Вы решили, что с комплексным пространством Минковского нельзя связать алгебру, обладающую бесконечнопараметрическими конформными симметриями соответствующего ей 8-мерного финслерова пространства?

Хотя бы потому, что с обычным пространством Минковского нельзя связать алгебру хоть издали напоминающую алгебру комплексных или двойных чисел. Если бы существовала алгебра, связанная с пространством Минковского с комплексными координатами, алгебра связанная с обычным Минковским (которой не существует) должна была бы быть ее подалгеброй.

bayak в сообщении #852101 писал(а):

По крайней мере у меня получается богатое семейство комплексных потенциалов, обладающих этими симметриями.

Алгебру обычно определяет таблица Кэли (таблица произведений мнимых и вещественной единиц алгебры). С любопытством взгляну на таблицу Кэли 8 единиц Вашей предполагаемой алгебры, связанной с комплексифицированным пространством Минковского. Да хотя бы таблицу Кэли для обычного вещественного Минковского посмотреть. Только перед тем как рисовать такую, проверьте произведения этих единиц на обычные законы арифметики. Вряд ли они будут выполняться, что и означает, что таких алгебр не существует..

bayak в сообщении #852101 писал(а):

Что касается Ваших коллег, то буду признателен, если поделитесь со мной их адресами.

Напомните на мой адрес: [e-mail] Ваш, пришлю их координаты..

[bayak]

Time в сообщении #852149 писал(а):

Хотя бы потому, что с обычным пространством Минковского нельзя связать алгебру хоть издали напоминающую алгебру комплексных или двойных чисел. Если бы существовала алгебра, связанная с пространством Минковского с комплексными координатами, алгебра связанная с обычным Минковским (которой не существует) должна была бы быть ее подалгеброй.

Всё правильно, но пространство Минковского вкладывается в алгебру Клиффорда.

Time в сообщении #852149 писал(а):

Алгебру обычно определяет таблица Кэли (таблица произведений мнимых и вещественной единиц алгебры). С любопытством взгляну на таблицу Кэли 8 единиц Вашей предполагаемой алгебры, связанной с комплексифицированным пространством Минковского. Да хотя бы таблицу Кэли для обычного вещественного Минковского посмотреть. Только перед тем как рисовать такую, проверьте произведения этих единиц на обычные законы арифметики. Вряд ли они будут выполняться, что и означает, что таких алгебр не существует..

Всё правильно, но не для всех алгебр таблица Кэли служит самым подходящим представлением. Например, для алгебры 4-рядных матриц комплексных чисел самым подходящим представлением служат матрицы Дирака. Когда я говорил о связи алгебры с 8-мерным финслеровым пространством, то имел в виду 8-мерное пространство, на которое действует овеществлённая алгебра 4-рядных матриц. Но это всего лишь моё предположение, не факт, что с этим пространством вообще можно связать какую-то финслерову метрику.

Идея удвоения пространства Минковского состоит в том, чтобы связать координаты пространства $(x,y,z,t)$ и "дуального" к нему $(x^*,y^*,z^*,t^*)$ отношением покомпонентной ортогональности. То есть координата $x$ должна быть ортогональна $x^*$ на псевдоевклидовой плоскости $(x,x^*)$ и так далее.

Time в сообщении #852149 писал(а):

Напомните на мой адрес: [e-mail] Ваш, пришлю их координаты..

Спасибо, я уже нашёл адрес Дж. Мунтяну и написал ему письмо. Если у нас возникнет взаимопонимание, то можно будет подумать и о Вашем предложении встретится с ним "вживую".

[Time]

bayak в сообщении #852259 писал(а):

Всё правильно, но пространство Минковского вкладывается в алгебру Клиффорда.

Кватернионы так же являются одной из алгебр Клиффорда, а трехмерное евклидово пространство "вкладывается" в эту алгебру. Однако, ни у кватернионов, ни у трехмерного евклидова пространства, ни у четырехмерного (геометрия которого на прямую соответствует алгебре кватернионов) нет бесконечно-параметрической группы конформных преобразований. Кому как, а мне пространства без соответствующей бесконечно-параметрической группы не представляются сколь ни будь серьезными конкурентами пространствам, в которых такие группы есть.
Это совсем не означает, что другие не могут находить для себя интересное в исследованиях "бедных" на конформные преобразования пространств. Но это их выбор, не мой..

bayak в сообщении #852259 писал(а):

Идея удвоения пространства Минковского состоит в том, чтобы связать координаты пространства $(x,y,z,t)$ и "дуального" к нему $(x^*,y^*,z^*,t^*)$ отношением покомпонентной ортогональности. То есть координата $x$ должна быть ортогональна $x^*$ на псевдоевклидовой плоскости $(x,x^*)$ и так далее.

В таком случае, это ваше "комплексифицированное" пространство Минковского не совсем правильно называть комплексным. Это пространство Минковского, когда вещественные координаты заменяются не обычными комплексными координатами, а связанными с двойными числами (которыми мы много занимаемся). В результате действительно получается восьмимерное финслерово (вернее, псевдофинслерово) пространство с метрической функцией в четвертых степенях, но оно совсем другое, чем то, которое получается при обычной комплексификации пространства Минковского. Боюсь, что ни Мунтяну, ни Паун - никогда не занимались исследованием геометрии такого пространства. У них, на сколько я помню, комплексификация самая обычная, через действительно комплексные числа, а двойные числа считаются уже гиперкомплексными.
Очень сомневаюсь, что у интересующего Вас гиперкомплексного пространства Минковского бесконечно-параметрическая конформная группа. Предлагаю дать ссылку на доказательство обратного, любопытно посмотреть, где Вы ошибаетесь..

bayak в сообщении #852259 писал(а):

Спасибо, я уже нашёл адрес Дж. Мунтяну и написал ему письмо.

Он не очень хорошо понимает по русски, хотя у него супруга русская. Поэтому, наверное, лучше писать по английски.

[bayak]

Time в сообщении #852275 писал(а):

Кому как, а мне пространства без соответствующей бесконечно-параметрической группы не представляются сколь ни будь серьезными конкурентами пространствам, в которых такие группы есть.

Совершенно с Вами согласен. В том пространстве, которое я рассматриваю требуется выполнение уравнений типа Коши-Римана. Комплексные потенциалы, удовлетворяющие этим уравнениям весьма разнообразны -- это и линейные, и дробнолинейные, и прочие функции.

Time в сообщении #852275 писал(а):

В таком случае, это ваше "комплексифицированное" пространство Минковского не совсем правильно называть комплексным. Это пространство Минковского, когда вещественные координаты заменяются не обычными комплексными координатами, а связанными с двойными числами (которыми мы много занимаемся). В результате действительно получается восьмимерное финслерово (вернее, псевдофинслерово) пространство с метрической функцией в четвертых степенях, но оно совсем другое, чем то, которое получается при обычной комплексификации пространства Минковского. Боюсь, что ни Мунтяну, ни Паун - никогда не занимались исследованием геометрии такого пространства. У них, на сколько я помню, комплексификация самая обычная, через действительно комплексные числа, а двойные числа считаются уже гиперкомплексными.
Очень сомневаюсь, что у интересующего Вас гиперкомплексного пространства Минковского бесконечно-параметрическая конформная группа. Предлагаю дать ссылку на доказательство обратного, любопытно посмотреть, где Вы ошибаетесь..

Мне понравилась Ваша идея с заменой вещественных координат двойными числами. Ссылку на индуцированное таким образом псевдофинслерово пространство не дадите? Загляните в почтовый ящик, там моя работа в формате pdf.

[Time]

bayak в сообщении #852316 писал(а):

Совершенно с Вами согласен. В том пространстве, которое я рассматриваю требуется выполнение уравнений типа Коши-Римана. Комплексные потенциалы, удовлетворяющие этим уравнениям весьма разнообразны -- это и линейные, и дробнолинейные, и прочие функции.

Пока это только декларация. Линейные и дробнолинейные функции сами по себе мало интересны. Первые можно связывать с изометрическими преобразованиями пространства, а вторые с так называемыми круговыми преобразованиями, переводящими сферы в сферы. Это те же линейные преобразования, плюс инверсии относительно сфер. Сферы, естественно, понимаются в финслеровом смысле. Меня впечатлил бы конкретный пример парочки более сложных элементарных функций. Например, квадратичной и логарифмической. Вы можете выписать покомпонентно именно эти две функции для своей алгебры?

bayak в сообщении #852316 писал(а):

Мне понравилась Ваша идея с заменой вещественных координат двойными числами. Ссылку на индуцированное таким образом псевдофинслерово пространство не дадите?

Ссылку не дам, я не помню, что бы кто-то из моих знакомых занимался таким пространством. Теоретически можно посмотреть в последней книге Розенфельда, но и там может не быть. Исходя из своего опыта работы с финслеровыми метриками, могу предположить, что в изотропном базисе метрическая функция интересующего Вас пространства связана с формой:
$S^4=x_1x_2x_3x_4+x_1x_2x_3x_5+...+x_5x_6x_7x_8$
И это в одном из самых простых базисов. Как можно плодотворно работать с таким пространством я совершенно не понимаю..

[bayak]

Time в сообщении #852335 писал(а):

Пока это только декларация. Линейные и дробнолинейные функции сами по себе мало интересны. Первые можно связывать с изометрическими преобразованиями пространства, а вторые с так называемыми круговыми преобразованиями, переводящими сферы в сферы. Это те же линейные преобразования, плюс инверсии относительно сфер. Сферы, естественно, понимаются в финслеровом смысле. Меня впечатлил бы конкретный пример парочки более сложных элементарных функций. Например, квадратичной и логарифмической. Вы можете выписать покомпонентно именно эти две функции для своей алгебры?

Здесь долго выписывать, лучше посмотрите в последний раздел той работы, которую я Вам выслал. В общих чертах так: сначала с помощью квадратично-логарифмических и обратных тригонометрических функций конструируются комплексные потенциалы комплексных координат пространства Минковского, а уже потом из них с помощью линейной функции конструируется вакуумный потенциал, а с помощью дробнолинейных функций конструируются частицеподобные потенциалы. При этом действительный потенциал получается из комплексного как линейная комбинация вещественной и мнимой части комплексного потенциала.

[Time]

bayak в сообщении #852461 писал(а):

Здесь долго выписывать, лучше посмотрите в последний раздел той работы, которую я Вам выслал.

Посмотрел.. Там нет в явном виде выписанных 8 (одной вещественной и семи мнимых) компонент ни квадратичной, ни логарифмической функций. Там вообще алгебра не конкретизирована. Перечислите пожалуйста единицы Вашей алгебры и правила их взаимных произведений. Если хотя бы попробуете, то надеюсь, поймете, в чем именно Вы заблуждаетесь..

[bayak]

Time в сообщении #852465 писал(а):

Посмотрел.. Там нет в явном виде выписанных 8 (одной вещественной и семи мнимых) компонент ни квадратичной, ни логарифмической функций. Там вообще алгебра не конкретизирована. Перечислите пожалуйста единицы Вашей алгебры и правила их взаимных произведений. Если хотя бы попробуете, то надеюсь, поймете, в чем именно Вы заблуждаетесь..

Всё там конкретизировано, но смотреть надо не только последний раздел. Развёрнуто отвечу чуть позже.

[Time]

Ради Бога, не нужно развернуто. Дайте только примеры пар произведений одних только мнимых единиц. Без этого Ваша алгебра не определена.. Все остальное после этого.

[bayak]

Time в сообщении #852471 писал(а):

Ради Бога, не нужно развернуто. Дайте только примеры пар произведений одних только мнимых единиц. Без этого Ваша алгебра не определена.. Все остальное после этого.

Я уже вам говорил, что это алгебра комплексных 4-рядных матриц.

[g______d]

Time в сообщении #852089 писал(а):

а тут текстовая расширенная версия доклада в виде статьи "Алгебра, геометрия и физика двойных чисел": http://www.logos-distant.ru/article/art4/art1.html

В разделе 2.6 во втором предложении написано враньё. Я и другие участники уже несколько раз это объясняли. Нельзя произвольную гладкую функцию или пару функций двух вещественных переменных записать в виде функции или пары функций двух независимых комплексных переменных.

В своем журнале можно писать что угодно, а на образовательном сайте нехорошо.