Две дискретные случайные величины

[MaxWriter]

Пусть $ ( \Omega, F,P)$ вероятностное пространство. Пусть $\eta $ - дискретная случайная величина, которая принимает значения на множестве неотрицательных целых чисел. Далее, пусть $\xi $ случайная величина которая равномерна распределена на $\{ 0,1,..,\eta\}$

а) Записать формулу для $M(\xi)$.

б) Доказать, что $M(\xi)=\frac{1}{2}M(\eta)$

Меня смущают слова "случайная величина которая равномерно распределена на конечном множестве". Правильно ли я понимаю, что тогда $P(\xi=l|\eta=N)=\frac{1}{N+1}$, если $l \in \{0,1,...,N\}$ и $P(\xi=l|\eta=N)=0$ иначе?

Тогда для пункта а) получим:

$$M(\xi)=M(\xi \cdot \sum \limits_{N=0}^{\infty}1_{\{\eta=N\}})=\sum \limits_{N=0}^{\infty}M(\xi \cdot 1_{\{\eta=N\}})=\sum \limits_{N=0}^{\infty}M(\xi|\eta=N)\cdot P(\eta=N)=$$

$\sum \limits_{N=0}^{\infty}\sum \limits_{l=0}^{\infty}l\cdot P(\xi=l|\eta=N) \cdot P(\eta=N)=\sum \limits_{N=1}^{\infty}\sum \limits_{l=1}^{\infty}l\cdot P(\xi=l|\eta=N)\cdot P(\eta=N)$.
Верно?
Тогда пункт б) доказывается перестановкой сумм и суммированием по $l$ ?

[--mS--]

Правильно. Да. Нет. Зачем переставлять суммы, если внутренняя считается?

[MaxWriter]

--mS-- в сообщении #852454 писал(а):

Правильно. Да. Нет. Зачем переставлять суммы, если внутренняя считается?

Спасибо. Да, переставлять суммы не нужно. Должно быть просто

$$\sum \limits_{N=1}^{\infty}\sum \limits_{l=1}^{\infty}l\cdot P(\xi=l|\eta=N)\cdot P(\eta=N)=\sum \limits_{N=1}^{\infty}\sum \limits_{l=1}^{N}l\cdot \frac{1}{N+1}\cdot P(\eta=N)=$$

$=\sum \limits_{N=1}^{\infty} \frac{1}{N+1}\cdot P(\eta=N)\sum \limits_{l=1}^{N}l= \sum \limits_{N=1}^{\infty}\frac{N}{2}P(\eta=N)=\frac{1}{2}M(\eta)$