Неопределенный интеграл

[Ssheh]

Здравствуйте, помогите , пожалуйста, разобраться с одним интегралом:
$\int \frac{1}{\cos^5 x}dx=\int \cos x (1+\tg^2 x)^3dx =... $ Заменяем $t=\tg x, x=\arctg x, dx=\frac{1}{1+t^2}dt$ Получеам:
$...=\int \frac{1}{{1+t^2}^{3/2}}dt+3\int \frac{t^2}{{1+t^2}^{3/2}}dt+3\int \frac{t^4}{{1+t^2}^{3/2}}dt+\int \frac{t^6}{{1+t^2}^{3/2}}dt$ Далее применяя интегрирование по частям и небольшие преобразования получаем :

$\int \frac{1}{{1+t^2}^{3/2}}dt+3\int \frac{t^2}{{1+t^2}^{3/2}}dt+3\int \frac{t^4}{{1+t^2}^{3/2}}dt+\int \frac{t^6}{{1+t^2}^{3/2}}dt=(\frac{t}{\sqrt{t^2+1}})- 3 (\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}+\operatorname{arsh} t) + \frac{3}{2}(\frac{t^3+3t}{\sqrt{t^2+1}}-3\operatorname{arsh} t) + \frac{1}{8}(\frac{2t^5-5t^3+3t}{\sqrt{t^2+1}}+15\operatorname{arsh} t) + \operatorname{const}= \frac{2\tg^5 x+7\tg^3 x+5\tg x}{8\sqrt{1+\tg^2 x}}+\frac{3}{8}\operatorname{arsh} \tg x + \operatorname{const}$
И вроде бы каждый шаг проверил через вольфрам, все сходится, но проблема в том, что я не могу вернутся к исходному выражению через производную и вольфрам на итоговое выдает что-то другое, в связи с чем прошу помочь упростить как-нибудь мое решение.

[Otta]

Ssheh в сообщении #851950 писал(а):

в связи с чем прошу помочь упростить как-нибудь мое решение.

Неохота.

Домножьте числитель и знаменатель в исходном интеграле на косинус. И вперед.

Куда Вы с этим тангенсом? будто никто никогда не учил, когда какие триг. замены делать. Демидович есть? откройте, вспомните.

[Ssheh]

Otta в сообщении #851952 писал(а):

Ssheh в сообщении #851950 писал(а):

в связи с чем прошу помочь упростить как-нибудь мое решение.

Неохота.

Домножьте числитель и знаменатель в исходном интеграле на косинус. И вперед.

Куда Вы с этим тангенсом? будто никто никогда не учил, когда какие триг. замены делать. Демидович есть? откройте, вспомните.

По-моему не всегда можно обойтись всем известными заменами, но даже применяя их, я не нашел легче пути, чем этот и , кстати, началось все именно с того, что я домножил знаменатель и числитель на косинус.

[Otta]

Ssheh в сообщении #851957 писал(а):

По-моему не всегда можно обойтись всем известными заменами,

Но это не тот случай.

Ssheh в сообщении #851957 писал(а):

началось все именно с того, что я домножил знаменатель и числитель на косинус.

И что же Вас остановило?

Видите ли, разумеется, нет никакого запрета на выбор замены. Есть лишь естественное к ним требование - они должны приводить интеграл к лучшему виду, чем был. Ваши же - каждый в отдельности - довольно тяжелы в счете. Если Вы их считали ручками, то должны бы знать об этом.

[Ssheh]

Otta в сообщении #851961 писал(а):

Ssheh в сообщении #851957 писал(а):

По-моему не всегда можно обойтись всем известными заменами,

Но это не тот случай.

Ssheh в сообщении #851957 писал(а):

началось все именно с того, что я домножил знаменатель и числитель на косинус.

И что же Вас остановило?

Видите ли, разумеется, нет никакого запрета на выбор замены. Есть лишь естественное к ним требование - они должны приводить интеграл к лучшему виду, чем был. Ваши же - каждый в отдельности - довольно тяжелы в счете. Если Вы их считали ручками, то должны бы знать об этом.

Попробовал поискать в Демидовиче, там лаконично написано: Интегралы вида $\int \cos^n x \sin^m x$ вычисляются с помощью искусственных преобразований или применения формул понижения, что в некотором роде сделал и я(по крайней мере начал я именно с этого).

[Otta]

Это для натуральных показателей $n, m$. Дальше читайте. Демидовича нету, страницу не скажу, но дальше.
На самом деле, Ваша первая идея - домножение на косинус - и есть нужное.

[Ssheh]

Otta в сообщении #851966 писал(а):

Это для натуральных показателей $n, m$. Дальше читайте. Демидовича нету, страницу не скажу, но дальше.
На самом деле, Ваша первая идея - домножение на косинус - и есть нужное.

Как раз таки там написано, где n и m - целые числа и снизу есть пример похожий на мой, но со степенью 3. Я посмотрел, как он решается, но все-таки тут степень играет небольшую роль и по аналогии не проходит

[Otta]

Почему это не проходит?

[provincialka]

В демидовиче чуть дальше перечислены подстановки, рационализирующие интеграл. Указано, когда брать синус, косинус, тангенс или универсальную подстановку.

[AlexKaz]

${{3\,\log \left(\sin x+1\right)}\over{16}}-{{3\,\log \left(\sin x-1 \right)}\over{16}}-{{3\,\sin ^3x-5\,\sin x}\over{8\,\sin ^4x-16\, \sin ^2x+8}}$ - это решение в Maxima

[provincialka]

Да уж, не человеческое решение!
Но явно полученное стандартной заменой (синус)

-- 20.04.2014, 09:59 --

Можно еще так попробовать: $\int\dfrac{\sin^2x+\cos^2x}{\cos^5x}dx$. Получаем сумму, первый интеграл берем по-частям.