вопрос про сюръективность функции (ДМ)

[spyphy]

Сразу предупреждаю, что вопрос этот скорее терминологический, чем по сути. Дело в том, что поставлен он в учебнике по дискретной математике и в оригинале звучит так:

Цитата:

Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$ , отображающая множество действительных чисел $R$ во множество действительных чисел, $R \to R$. Является ли эта функция сюръективной, инъективной, биективной?

Вот здесь я не понял, можем ли мы вообще рассматривать эту функцию как функцию $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$, если областью её определения и соответственно областью значений является только $[0,+\infty)$?
В общем я бы ответил как инъективна, но не сюръективна и не биективна. Или я не прав?

[provincialka]

Есть разные подходы к этому вопросу. Но если считать, что при задании функции надо указывать "точную" область определения, то корень в таком виде вообще не функция. Но ведь у вас нет вопроса "Функция ли это?"

[spyphy]

На всякий случай приведу определения из источника, хотя сомневаюсь, что это прояснит ситуацию, поскольку мне они кажется весьма запутанными (если рассматривать в совокупности с задачей):

Цитата:

Функцией называется любое бинарное отношение, которое не содержит двух пар с равными первыми компонентами и различными вторыми.
Если $f$ – функция, то $D_f$ – область определения, а $R_f$ – область значений функции $f$.
Область определения отношения $P$ – это множество $D(P) = \{ x \mid \exists y: ~ (x,y) \in P \}$.
Область значений отношения $P$ – это множество $R(P) = \{ y \mid \exists x: ~ (x,y) \in P \}$.
Если $D_f = X$ и $R_f = Y$, то говорят, что функция $f$ определена на $X$ и принимает свои значения на $Y$, а $f$ называют отображением множества $X$ на $Y$.
Функция (отображение) $f$ называется сюръективной или просто сюръекцией, если ля любого элемента $y \in Y$ существует элемент $x \in X$, такой, что $y = f(x)$.
Таким образом, каждая функция $f$ является сюръективным отображением (сюръекцией) $D_f \to R_f$.

Такие вот дела, поди пойми что имел в виду автор.

[provincialka]

А что? По-моему противоречий нет. Плохо, что в этом отрывке не указано, между какими множествами задано соответствие. Видимо, между $X$ и $Y$. (Единственно, мне не нравится название "отношение", я привыкла называть отношением соответствие между $X$ и $X$).
Надо только отличать $X$ от области определения.

[arseniiv]

Как-то не совсем внятно определено там — кто такие $D_f$ и $R_f$, например, и как связаны c $D$ и $R$ от отношения — графика $f$?

Когда рассматриваются функциональные отношения, у которых $\{x : \exists y\mathbin.(x,y)\in f\}$ не обязательно равно области определения, а может быть и её подмножеством, их зовут частичными функциями, а обычные функциями просто функциями или тотальными функциями. И, если частичные функции рассматриваются, область определения может обозначать $\{x : \exists y\mathbin.(x,y)\in f\}$, а $\dom f$ может называться областью отправления или как-то там ещё.

Если понимать корень из начального поста как частичную функцию из $\mathbb R\to\mathbb R$, то она будет инъективной и не сюръективной, и потому и не биективной тоже. А если как функцию из $\mathbb R\to\mathbb R_{\geqslant0}$, она будет сюръективна и всё равно не биективна, т. к. не тотальна и не хватает прообразов.

Рассмотрение частичных функций вносит симметрию между областями отправления/значений и областью определения с образом, но эта симметрия не настолько важна, чтобы её добиваться.

[spyphy]

provincialka в сообщении #852029 писал(а):

А что? По-моему противоречий нет.

как всё же вы бы ответили: сюръективна или нет?

[arseniiv]

В том виде не сюръективна. Если там нет ошибок и частичные функции допускаются.

Кстати, spyphy, в той книге функция определяется как отношение с особым свойством (его могут называть функциональностью как я и сделал выше) или тройка из такого отношения и двух множеств? Если первое, функция всегда сюръекция и всегда тотальная, и никак приписать ей другие область отправления и значений нельзя (если только не засунуть график в кортеж с этими областями как во втором случае).