Полиномы в кач-ве векторов

[arseniiv]

(А ещё лучше сразу вводить формальные степенные ряды!)

[ewert]

AV_77 в сообщении #850271 писал(а):

Вообще надо разделять понятия многочлена и функции. И лучше сразу усвоить, что многочлен это не функция.

А ещё лучше -- наоборот: что многочлен -- это функция. И, будучи таковой, не является своим значением.

[ghetto]

Здесь оригинал.

PDF. стр. 12

Все, что я знаю про написанное нах-ся м/у страницами 1 и 12.

[alcoholist]

ИСН в сообщении #850259 писал(а):

Очень простым образом: каждому одному конкретному объекту того вида, что слева, соответствует один конкретный объект того вида, что справа. И наоборот.

Вот точный (как обычно у афтара) ответ... или совет:)
попробую и сам пояснить: любой многочлен степени не более чем $n$ однозначно определяется своими (упорядоченными) $n+1$ коэффициентами

собственно, то же самое можно прочесть и в цитируемых заметках: indeed one can match
one to the other by the pairing

(конечно, спаривание -- неуместный тут термин... лучше бы by the correspondence)

[ewert]

Линейные пространства бывают разными (это так, философски).

Вот, скажем, и функции (независимо от возможных ограничений) -- образуют линейное пространство, да. Ну что уж тут поделаешь.

И многочлены, будучи частными случаями функций -- тоже.

А что многочлены задаются к тому же ещё и дискретными наборами параметров -- ну несчастье такое для них вышло, увы. Но это отнюдь не делает их нефункциями.

[ghetto]

Я вот такое надумал.

$v$ = $(a_ nxn + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_1x + a_0)$ вектор в $P_n(\mathbb R)$.

$v$ состоит из одного элемента.

$\mathbb R^n$ не содержит никаких полиномов или функции. $\mathbb R^n$ -это множество всех упорядоченных наборов $n$ чисел (a set of all ordered n-tuples) и их сумм.

Тогда полином $ v_1 = (a_ nxn + a_{n - 1}x^{x - 1} + ... + a_1x + a_0)$ внутри $\mathbb R^n$ - это собрание $n$ полиномов, каждый из которых представляет из себя вещ. число для некой $x$.

Соответсвенно, $v_1$ состоит из $n$ элементов. Если бы $x$ была известной, то $v_1$ состоял бы из одного элемента.

В правильном направлений?

[kp9r4d]

ghetto в сообщении #850325 писал(а):

В правильном направлений?

Вам нужно для начала определится с целью. В частности: задать вопрос. Что вам непонятно?

[nnosipov]

ewert в сообщении #850286 писал(а):

А ещё лучше -- наоборот: что многочлен -- это функция.

Нет, не лучше. Если речь идёт о сколь-нибудь содержательном курсе алгебры.

[g______d]

ewert в сообщении #850286 писал(а):

А ещё лучше -- наоборот: что многочлен -- это функция. И, будучи таковой, не является своим значением.

А как быть с тем, что

AV_77 в сообщении #850271 писал(а):

В некоторых случаях окажется, что многочлены и функции, которые они определяют, можно отождествить, а в некоторых - нельзя и разные многочлены могут задавать одну и ту же функцию.

?

Например, функций из конечного поля в конечное поле конечное количество, а многочленов над тем же полем бесконечное.

[AV_77]

ewert в сообщении #850286 писал(а):

А ещё лучше -- наоборот: что многочлен -- это функция.

Наоборот хуже. Кольцо многочленов выделяется тем, что это универсальный объект в некоторой категории.

[ewert]

Нет, лучше. Напомню, что изначально речь шла о каком-то $\mathbb R$ (уж и не знаю, о каком именно, но -- шла). А раз так -- нефиг плодить бритвочек для разнообразия, как говаривал тов. Оккам.

[ghetto]

$x^3 + 2x^2 + 4$ эквивалентен $(1, 2, 0, 4)$ видимо потому что

$(1, 2, 0, 4)$

$= 1 (1, 0, 0, 0) + 2 (0, 1, 0, 0) + 0 (0, 0, 1, 0) + 4 (0, 0, 0, 1)$

Значит ли это то, что $x^3 = (1, 0, 0, 0)$? Если да, то каким образом такое может быть? Также, почему тут разрешается просуммировать элементы $(1, 2, 0, 4)$?

[provincialka]

ghetto в сообщении #851415 писал(а):

что $x^3 = (1, 0, 0, 0)$? Если да, то каким образом такое может быть?

Не равно, а соответствует. А почему не может?

ghetto в сообщении #851415 писал(а):

почему тут разрешается просуммировать элементы $(1, 2, 0, 4)$?

В каком смысле просуммировать?

[ghetto]

provincialka в сообщении #851418 писал(а):

Не равно, а соответствует. А почему не может?

По какому это правилу?

provincialka в сообщении #851418 писал(а):

В каком смысле просуммировать?

$(1, 2, 0, 4)$

$= 1 (1, 0, 0, 0) + 2 (0, 1, 0, 0) + 0 (0, 0, 1, 0) + 4 (0, 0, 0, 1)$

Здесь элементы $(1, 2, 0, 4)$ помноженны на единичные векторы и просуммированы.

[Dan B-Yallay]

ghetto в сообщении #851428 писал(а):

По какому это правилу?

Вам тут намекают 2 страницы уже, что каждому полиному можно сопоставить вектор из его коэффициентов. При сложении, коэффициенты полиномов складываются так же как и кординаты векторов - покомпонентно. Вы уже и сами это сделали:

ghetto в сообщении #851428 писал(а):

$$(1, 2, 0, 4)= 1 (1, 0, 0, 0) + 2 (0, 1, 0, 0) + 0 (0, 0, 1, 0) + 4 (0, 0, 0, 1)$$

Здесь элементы $(1, 2, 0, 4)$ помноженны на единичные векторы и просуммированы.