показать, что многочлен неприводим

[godsdog]

Помогите показать, что многочлен $g(x)=x^5-4x-2$ неприводим над полем рациональных чисел. То, что многочлен не имеет рациональных корней показывается элементарно. Дальше никак.

Показал, что для неприводимости достаточно доказать, что не существует таких целых $p,\,q,\,m,\,n$, что
$p(p^5+16q^5)=m^2$
$5p^4+16q^4=n^2$
но этого доказать тоже не могу.

[nnosipov]

Обычно помогает редукция по какому-нибудь простому модулю. Докажите, что этот многочлен неприводим по модулю $3$.

[Sonic86]

Критерий Эйзенштейна Вам поможет.

[nnosipov]

Sonic86 в сообщении #851266 писал(а):

Критерий Эйзенштейна

А слона-то я и не заметил :)

[godsdog]

Критерий Эйзенштейна здесь удовлетворяется, но хотелось бы ограничится школьными знаниями.