Доказать топологическое утверждение

[Keter]

Заинтересовался доказательством такого утверждения: всякое односвязное компактное двумерное многообразие без края гомеоморфно двумерной сфере.

Появилась такая идея:
1. Доказать, что поверхность $M$ ориентируемая $\iff$ на ней все петли стягиваются в точку.
2. Доказать, что ориентируемая (односвязная и замкнутая) поверхность $M$ гомеоморфна либо связной сумме торов $T \# T \# ... \# T,$ либо сфере $S^2.$
3. Доказать, что на связной сумме торов есть нестягиваемые петли и, что на сфере $S^2$ любая петля стягивается в точку.

Правильная ли идея? Где можно изучить доказательство этого утверждения?

[Brukvalub]

Может, проще сразу вспомнить теорему о классификации компактных замкнутых двумерных многообразий:?