Свойство определённого интеграла

[main.c]

Для функции $f(x)$, непрерывной на всей числовой прямой и с периодом $T$, для любого $a$ верно равенство:
$\int\limits_a^{a+T}f(x)dx = \int\limits_0^Tf(x)dx$. Нужно доказать это утверждение.
Интуитивно - это очевидное утверждение, а вот как строго доказать идей нет.

[provincialka]

Разбить на два интеграла и в одном сделать замену (сдвиг)

[main.c]

provincialka в сообщении #850646 писал(а):

Разбить на два интеграла и в одном сделать замену (сдвиг)

Что-то я не понимаю, какой интеграл из двух мне нужно разбить?

[arseniiv]

В принципе, любой, но лучше, наверно, первый. В общем случае $a\in[nT;nT+T)$. Интеграл по $[0;T]$, равный интегралу по $[0;T)$, заменой приводится к интегралу по $[nT;nT+T)$, а вот дальше уже не так очевидно, потому придётся разрезать и клеить.

[Ms-dos4]

Зачем резать/клеить? Проще разбить сразу на три
$\[\int\limits_a^{a + T} {f(x)dx} = \int\limits_a^0 {f(x)dx} + \int\limits_0^T {f(x)dx} + \int\limits_T^{a + T} {f(x)dx} \]$
В последнем делаем замену $\[\xi = x - T\]$ и получаем искомое равенство.

[svv]

Можно ещё воспользоваться формулой Лейбница (дифференцирование интеграла по параметру):
$\frac{d}{d\alpha}\int\limits_{\alpha}^{\alpha+T}f(x)\;dx=f(\alpha+T)\frac{d(\alpha+T)}{d\alpha}-f(\alpha)\frac{d\alpha}{d\alpha}=0

[Brukvalub]

svv в сообщении #850885 писал(а):

Можно ещё воспользоваться формулой Лейбница (дифференцирование интеграла по параметру):
$\frac{d}{d\alpha}\int\limits_{\alpha}^{\alpha+T}f(x)\;dx=f(\alpha+T)\frac{d(\alpha+T)}{d\alpha}-f(\alpha)\frac{d\alpha}{d\alpha}=0

Вот только одно плохо: не всегда, когда этот интеграл существует, он дифференцируем по параметру, да еще именно таким способом.

[svv]

Mathematicians!

-- Чт апр 17, 2014 18:00:38 --

Проконсультировался у Фихтенгольца. Тот сказал, что в условиях задачи мои действия законны. Функция $f(x)$ непрерывна по условию; от параметра не зависит; производные от нижнего и верхнего предела по параметру существуют. Этого достаточно для существования производной интеграла по параметру.

[ewert]

svv в сообщении #850885 писал(а):

Можно ещё воспользоваться формулой Лейбница (дифференцирование интеграла по параметру):

Можно, но это безыдейно. Это как чесать правое ухо левой ногой. Идейно же -- именно разбиением (т.е. ссылкой на аддитивность).

-- Пт апр 18, 2014 00:29:30 --

svv в сообщении #850889 писал(а):

мои действия законны. Функция $f(x)$ непрерывна по условию;

; только вот бяда в том, что само условие категорически не необходимо.

[provincialka]

Чисто формально: дифференцирование по параметру проходят гораздо позже, в разделе функций нескольких переменных.

[ewert]

provincialka в сообщении #851073 писал(а):

Чисто формально: дифференцирование по параметру проходят гораздо позже, в разделе функций нескольких переменных.

Нет, это другой параметр, конкретно это проходят именно здесь -- в просто определённых интегралах. (В норме, конечно; нам вот за урезанием программ в этом семестре этого пройти так и не довелось.)

-- Пт апр 18, 2014 00:57:20 --

(Оффтоп)

Т.е. я об этой детальке при чтении лекций попросту забыл; но забыл не случайно -- вот именно из-за крайней спешки. Хватай мешки, вокзал отходит.