целые части.

[Руст]

1. Известно, что $[n^2x]$ (x - действительное) квадрат целого числа для любого натурального n. Доказать, что х квадрат целого числа.
2. Верно ли это, если квадраты заменить степенями m>1.
3. Верно ли это, если $[n^4x]$ квадрат для любого натурального n.

[juna]

1. Ясно, что $[x]$ - квадрат, иначе при $n=[x]$ квадрат не получим. Но и так не получим квадрат для таких $n$, что $[n^2\{x\}]>1$,а поскольку $n$ неограниченно возрастает, то такое $n$ всегда найдется.
2. Аналогично, верно.

[Руст]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

1. Ясно, что $[x]$ - квадрат, иначе при $n=[x]$ квадрат не получим. Но и так не получим квадрат для таких $n$, что $[n^2\{x\}]>1$,а поскольку $n$ неограниченно возрастает, то такое $n$ всегда найдется.
2. Аналогично, верно.

Это надо доказать, существуют не целые х, что $[n^2x]$ квадрат для бесконечного множества натуральных чисел.

[juna]

По п.1
Но ведь Вы требуете для любого натурального $n$.
Если целая часть $x$ не является квадратом, то при $n=1$ квадрата не получим.
Если $[x]$ - квадрат, то пока $n^2\{x\}<1$ имеем $[n^2x]=n^2[x]$ - будет квадратом, но при первом $1<n^2\{x\}<2$ получим $[n^2x]=n^2[x]+1$ - не квадрат.
Если сразу $n^2\{x\}>1$ т.е. $\{x\}>0.25$, то возьмем $n=2$, проверяем несколько первых квадратов для $[x]=0,1,4,9,16$ при $n^2\{x\}<4$, а дальше нет смысла проверять, т.к. квадраты могут отстоять друг от друга на расстоянии четырех только в начале.