2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 целые части.
Сообщение05.11.2007, 18:32 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
1. Известно, что $[n^2x]$ (x - действительное) квадрат целого числа для любого натурального n. Доказать, что х квадрат целого числа.
2. Верно ли это, если квадраты заменить степенями m>1.
3. Верно ли это, если $[n^4x]$ квадрат для любого натурального n.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.11.2007, 22:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
1. Ясно, что $[x]$ - квадрат, иначе при $n=[x]$ квадрат не получим. Но и так не получим квадрат для таких $n$, что $[n^2\{x\}]>1$,а поскольку $n$ неограниченно возрастает, то такое $n$ всегда найдется.
2. Аналогично, верно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение05.11.2007, 22:45 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Артамонов Ю.Н. писал(а):
1. Ясно, что $[x]$ - квадрат, иначе при $n=[x]$ квадрат не получим. Но и так не получим квадрат для таких $n$, что $[n^2\{x\}]>1$,а поскольку $n$ неограниченно возрастает, то такое $n$ всегда найдется.
2. Аналогично, верно.

Это надо доказать, существуют не целые х, что $[n^2x]$ квадрат для бесконечного множества натуральных чисел.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение06.11.2007, 01:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


07/03/06
1898
Москва
По п.1
Но ведь Вы требуете для любого натурального $n$.
Если целая часть $x$ не является квадратом, то при $n=1$ квадрата не получим.
Если $[x]$ - квадрат, то пока $n^2\{x\}<1$ имеем $[n^2x]=n^2[x]$ - будет квадратом, но при первом $1<n^2\{x\}<2$ получим $[n^2x]=n^2[x]+1$ - не квадрат.
Если сразу $n^2\{x\}>1$ т.е. $\{x\}>0.25$, то возьмем $n=2$, проверяем несколько первых квадратов для $[x]=0,1,4,9,16$ при $n^2\{x\}<4$, а дальше нет смысла проверять, т.к. квадраты могут отстоять друг от друга на расстоянии четырех только в начале.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: vicvolf


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group