Ортогональное дополнение

[main.c]

$U, W$ - подпространства n-мерного евклидова пространства $V$.
Нужно доказать 3 утверждения:
1. $(U^\bot)^\bot = U$.
2. $(U + W)^\bot = U^\bot \cap W^\bot$
3. $(U \cap W)^\bot = U^\bot + W^\bot$

В лекциях они у меня доказаны, но я не понимаю некоторые моменты.
Доказательство 1:
Включение $U \subset (U^\bot)^\bot$ очевидно. В силу совпадения размерностей: *тут вычисляются размерности*, имеет место равенство.

У меня вопрос, почему включение очевидно

И мне кажется, что ещё проще было доказать так:
$U + U^\bot = V$
$U^\bot + (U^\bot)^\bot = V$
Из этого очевидно следует равенство.

[Brukvalub]

main.c в сообщении #850881 писал(а):

.
Включение $U \subset (U^\bot)^\bot$ очевидно. ...
У меня вопрос, почему включение очевидно
...

Прямо по определению.

-- Чт апр 17, 2014 18:15:32 --

main.c в сообщении #850881 писал(а):

...
И мне кажется, что ещё проще было доказать так:
$U + U^\bot = V$
$U^\bot + (U^\bot)^\bot = V$
Из этого очевидно следует равенство.

А вот мне - не очевидно! Прошу разъяснить!

[main.c]

Brukvalub в сообщении #850883 писал(а):

main.c в сообщении #850881 писал(а):

.
Включение $U \subset (U^\bot)^\bot$ очевидно. ...
У меня вопрос, почему включение очевидно
...

Прямо по определению.

-- Чт апр 17, 2014 18:15:32 --

main.c в сообщении #850881 писал(а):

...
И мне кажется, что ещё проще было доказать так:
$U + U^\bot = V$
$U^\bot + (U^\bot)^\bot = V$
Из этого очевидно следует равенство.

А вот мне - не очевидно! Прошу разъяснить!

Если точнее, там нужно было написать прямую сумму. Тогда возьмём произвольный $v\in V$. Для него из первого равенства следует, что $v = u + u^\bot$, где $u, u^\bot$ определены однозначно.
Из второго равенства следует, что $v = u^\bot + (u^\bot)^\bot$, где $u^\bot, (u^\bot)^\bot$ определены однозначно.
Из этого, очевидно, множества равны.

Если бы сумма не была прямой, то утверждать, что множества равны нельзя,

[Brukvalub]

Пространство $R^2$ является прямой суммой линейной оболочки вектора (1 , 0 ) и линейной оболочки вектора (0 , 1). Также оно является прямой суммой линейной оболочки вектора (1 , 0 ) и линейной оболочки вектора (1 , 1). Следует ли отсюда равенство линейной оболочки вектора (0 , 1) и линейной оболочки вектора (1 , 1)?

[main.c]

Brukvalub в сообщении #850903 писал(а):

Пространство $R^2$ является прямой суммой линейной оболочки вектора (1 , 0 ) и линейной оболочки вектора (0 , 1). Также оно является прямой суммой линейной оболочки вектора (1 , 0 ) и линейной оболочки вектора (1 , 1). Следует ли отсюда равенство линейной оболочки вектора (0 , 1) и линейной оболочки вектора (1 , 1)?

Нет, не следует. Хорошо, убедили, но мне до сих пор не ясен вопрос с включением. Берём не нулевой вектор $u \in U \Rightarrow u \notin U^\bot$, разве из этого следует, что $u \in (U^\bot)^\bot$?

[Brukvalub]

Разве это определение ортогонального дополнения?

[main.c]

Brukvalub в сообщении #850940 писал(а):

Разве это определение ортогонального дополнения?

Теперь всё ясно, я думал Вы имели ввиду определение включения. Спасибо.