Плотное множество

[bersarnur]

Пусть $\theta\in R$ - иррациональное число. Покажите, что множество $\{e^{2\pi i n \theta}: n\in Z\}$ является плотным в единичном круге на комплексной плоскости $C,$ где $Z$ - множество всех целых чисел.
Натолкните на мысль, пожалуйста.

[gris]

Пусть $\theta\in R$ - рациональное число. Что тогда будет? Каким будет множество значений функции?

[Brukvalub]

bersarnur в сообщении #850735 писал(а):

Пусть $\theta\in R$ - иррациональное число. Покажите, что множество $\{e^{2\pi i n \theta}: n\in Z\}$ является плотным в единичном круге на комплексной плоскости $C,$ где $Z$ - множество всех целых чисел.
Натолкните на мысль, пожалуйста.

как можно доказать ложное утверждение?

[ewert]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #850815 писал(а):

как можно доказать ложное утверждение?

Ну не придирайтесь. Линию с областью все постоянно путают, это такая мода в студенческой среде.

[bersarnur]

Уважаемый Brukvalub!
Почему это ложное утверждение? У Вас есть существенные основания относительно этого утверждения?

[gris]

Терминологическое: говорим же мы "тригонометрический круг", а подразумеваем что? Хотя сейчас как-то неполиткорректно различать "в круге" и "на чём-то-там-ещё", но надо.

Я бы всё-таки присмотрелся к выражению для целых $\theta$, для рациональных. Оно должно быть знакомым.

[Brukvalub]

bersarnur в сообщении #851159 писал(а):

Уважаемый Brukvalub!
Почему это ложное утверждение? У Вас есть существенные основания относительно этого утверждения?

Да! "У меня есть достаточные основания полагать, что" единичная окружность нигде не плотна в единичном круге, поэтому и подмножество этой окружности не может быть плотным в круге.

[bersarnur]

Let $\theta \in R$ be an irrational number. Show that the set $\{e^{2\pi i n \theta}: n\in Z\}$ is dense in the unit circle on complex plane $C$. Here $Z$ is the set of all integers.

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

заодно и английский выучите

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #865522 писал(а):

заодно и английский выучите

Возражу. В Правилах сказано, что "Нарушением считается:...
о) Ведение обсуждений на языке, отличном от русского и английского...."
Так что на английском писать не возбраняется.
По сути: уже было, см. post480230.html

[ewert]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #865533 писал(а):

Так что на английском писать не возбраняется.

Там двусмысленность: "circle" в обычном понимании -- это вообще-то как круг, так и окружность. Так что во избежание недоразумений лучше бы писать "circumference" (как, собственно, и пишут, хоть и не всегда).

[Oleg Zubelevich]

Brukvalub в сообщении #865533 писал(а):

По сути: уже было, см.

и не однажды topic83928-15.html

-- Вт май 20, 2014 15:07:09 --

(Оффтоп)

ewert в сообщении #865540 писал(а):

Там двусмысленность: "circle" в обычном понимании -- это вообще-то как круг, так и окружность.

покажите мне англоязычный текст по математике в котором circle употребляется в значении "круг"

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #865546 писал(а):

покажите мне англоязычный текст по математике в котором circle употребляется в значении "круг"

покажите мне просто англоязычный текст в котором в значении "круг" употребляется disk

Я объяснил причины аберрации или нет?

[Brukvalub]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #865571 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #865546 писал(а):

покажите мне англоязычный текст по математике в котором circle употребляется в значении "круг"

покажите мне просто англоязычный текст в котором в значении "круг" употребляется disk

Я объяснил причины аберрации или нет?

Нет! Вот один из "стопицоттыщ" текстов, в которых англоязычные авторы как-то умудряются различать круг и окружность: см. задачи 4 и 6.

[ewert]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #865575 писал(а):

текстов, в которых англоязычные авторы как-то умудряются различать круг и окружность: см. задачи 4 и 6.

Я в предыдущем посте что-то говорил про тексты задач?...

(зато они там в 4-й задачке зачем-то говорят про объём сферы; что, как мне кажется, даже и для англичан как-то несколько чересчур)