Функция со счетным количеством значений

[Alex Sominsky]

Задача: Пусть функция $f(x)$ обладает тем свойством, что для всякого $x_0$ существует $\delta>0$, такое, что из $|x - x_0|<\delta$ следует $f(x) \geqslant f(x_0)$. Доказать, что множество значений функции $f(x)$ не более чем счетно.
Примечание. Видимо, предполагается, что $f(x_0)$ и $f(x)$ определены.

Хочется доказать, что функция - кусочно-постоянная. Но не получается.

[gris]

Смотря что Вы понимаете под кусочно-постоянной функцией. Например, постоянная, из которой вниз выбито несколько точек (с изолированными значениями аргументов. Или с локальным минимумом в <своих> предельных точках. Типа функции Римана) удовлетворяет условию. Если в таком смысле, то да.
Просто я хочу сказать, что функция может не иметь ни одного интервала постоянства.

[main.c]

Мне кажется,что проще всего здесь пойти от противного - предположим, что множество значений континуально и дальше отталкиваться от этого.

[Alex Sominsky]

gris в сообщении #850401 писал(а):

я хочу сказать, что функция может не иметь ни одного интервала постоянства.

Я подозревал. Совсем грустно. И пока не придумывается как идти от обратного.

[B@R5uk]

Alex Sominsky в сообщении #850367 писал(а):

Пусть функция $f(x)$ обладает тем свойством, что для всякого $x_0$ существует $\delta>0$, такое, что из $|x - x_0|<\delta$ следует $f(x) \geqslant f(x_0)$. Доказать, что множество значений функции $f(x)$ не более чем счетно.

На мой взгляд, условию задачи удовлетворяют только функции, равные константе на всей области определения, которой является вся действительная прямая.

Фраза "для какого-то $x_0$ существует $\delta>0$, такое, что из $|x - x_0|<\delta$ следует $f(x) \geqslant f(x_0)$" означает, что точка $x_0$ является точкой нестрогого локального минимума. Фраза "для всякого $x_0$ существует $\delta>0$, такое, что из $|x - x_0|<\delta$ следует $f(x) \geqslant f(x_0)$" означает, что любая точка области определения функции $f(x)$ является точкой нестрогого локального минимума, что возможно только если функция равна константе, так как в противном случае можно было бы указать точку $x_1$ на границе областей, где условие задачи нарушалось бы.

Если бы в условии была фраза, что область определения $f(x)$ могла представлять собой прямую с выколотыми точками, то тогда как раз эти точки и могли бы быть точками раздела областей, где функция постоянна. То есть функция бы могла представлять собой кусочно-постоянную функцию с выколотыми точками на границах областей постоянства.

[provincialka]

Нет, это неверно. Пример приведен выше:

gris в сообщении #850401 писал(а):

Например, постоянная, из которой вниз выбито несколько точек (с изолированными значениями аргументов

[B@R5uk]

Тогда где в моём рассуждении ошибка? Из

B@R5uk в сообщении #850428 писал(а):

любая точка области определения функции $f(x)$ является точкой нестрогого локального минимума

не следует, что

B@R5uk в сообщении #850428 писал(а):

функция равна константе

правильно?

-- 16.04.2014, 15:04 --

Просто мне кажется, что утверждение

gris в сообщении #850401 писал(а):

функция может не иметь ни одного интервала постоянства

не верно применительно к функциям, удовлетворяющим условию задачи. Однако, пример

gris в сообщении #850401 писал(а):

постоянная функция, из которой вниз выбито несколько точек (с изолированными значениями аргументов

условию задачи, очевидно, удовлетворяет (я как-то пропустил этот момент совсем). Но точки разрыва функции не могут образовывать непрерывный интервал, поэтому с неизбежностью функция между такими точками будет равна константе.

[ИСН]

Ну видите же: не следует.

-- менее минуты назад --

B@R5uk в сообщении #850436 писал(а):

Но точки разрыва функции не могут образовывать непрерывный интервал, поэтому с неизбежностью функция между такими точками...

Между какими?

[B@R5uk]

ИСН в сообщении #850440 писал(а):

Между какими?

"Выбитые вниз" точки функции являются точками строгого минимума. Между двумя такими соседними точками функция обязана быть равной константе. Хотя я прекрасно понимаю, что такие две точки могут лежать сколь угодно близко друг к другу. Но не в плотную. То есть должно существовать эпсилон, большее нуля, но меньшее расстояния между такими двумя точками. В противном случае, можно указать точку максимума функции, что нарушает условие задачи. По этой причине функция Римана не походит под условие задачи не со знаком плюс, ни со знаком минус. Или я опять где-то не прав?

-- 16.04.2014, 15:28 --

Но это моё утверждение, если оно верно, надо ещё строго доказать.

[Cash]

Введем на области определения $X$ функции $f$ отношение эквивалентности $ \sim $ следующим правилом
$x_1 \sim x_2 \Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2)$.
Нужно показать, что в фактор-множестве $X/{\sim}$ не более чем счетное количество элементов. Это достаточно просто.

[ИСН]

B@R5uk в сообщении #850448 писал(а):

Между двумя такими соседними точками функция обязана быть равной константе.

Слово "соседними" не даётся даром. Возьмём рациональные точки; какая из них будет соседней с $1\over2$?
Другое дело, что рациональные точки в нашей задаче взять нельзя; но это само по себе надо доказывать.

[Alex Sominsky]

Cash в сообщении #850462 писал(а):

Введем на области определения $X$ функции $f$ отношение эквивалентности $ \sim $ следующим правилом
$x_1 \sim x_2 \Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2)$.
Нужно показать, что в фактор-множестве $X/{\sim}$ не более чем счетное количество элементов. Это достаточно просто.

Мне кажется, что условие задачи просто изложено другими словами. Почему от этого стало легче - непонятно. Буду думать.

[Cash]

Вам не нужно задумываться об "устройстве" функции, только ее свойство из условия. Каждому числу можно поставить в соответствие элемент счетного множества и показать, что числам из разных классов соответствуют различные элементы.
Для того чтобы понять, что нужно ставить в соответствие - докажите для случая кусочно-постоянной функции.

[mihailm]

Это известная задача из Натансона ТФВП (в конце каждой главы задачки). Простых задач там нету.
Решена в книге Ульянов П.Л., Бахвалов А.Н., Дьяченко М.И. и др. - Действительный анализ в задачах

[Cash]

mihailm в сообщении #850584 писал(а):

Это известная задача из Натансона ТФВП (в конце каждой главы задачки). Простых задач там нету.
Решена в книге Ульянов П.Л., Бахвалов А.Н., Дьяченко М.И. и др. - Действительный анализ в задачах

Ну зачем же так народ пугать? Ничего зубодробительного в задаче нет. Решение ведь в две строчки.