2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 09:26 
Задача: Пусть функция $f(x)$ обладает тем свойством, что для всякого $x_0$ существует $\delta>0$, такое, что из $|x - x_0|<\delta$ следует $f(x) \geqslant f(x_0)$. Доказать, что множество значений функции $f(x)$ не более чем счетно.
Примечание. Видимо, предполагается, что $f(x_0)$ и $f(x)$ определены.

Хочется доказать, что функция - кусочно-постоянная. Но не получается.

 
 
 
 Re: Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 11:39 
Аватара пользователя
Смотря что Вы понимаете под кусочно-постоянной функцией. Например, постоянная, из которой вниз выбито несколько точек (с изолированными значениями аргументов. Или с локальным минимумом в <своих> предельных точках. Типа функции Римана) удовлетворяет условию. Если в таком смысле, то да.
Просто я хочу сказать, что функция может не иметь ни одного интервала постоянства. :?:

 
 
 
 Re: Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 12:00 
Мне кажется,что проще всего здесь пойти от противного - предположим, что множество значений континуально и дальше отталкиваться от этого.

 
 
 
 Re: Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 13:15 
gris в сообщении #850401 писал(а):
я хочу сказать, что функция может не иметь ни одного интервала постоянства.
Я подозревал. Совсем грустно. И пока не придумывается как идти от обратного.

 
 
 
 Re: Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 13:37 
Аватара пользователя
Alex Sominsky в сообщении #850367 писал(а):
Пусть функция $f(x)$ обладает тем свойством, что для всякого $x_0$ существует $\delta>0$, такое, что из $|x - x_0|<\delta$ следует $f(x) \geqslant f(x_0)$. Доказать, что множество значений функции $f(x)$ не более чем счетно.
На мой взгляд, условию задачи удовлетворяют только функции, равные константе на всей области определения, которой является вся действительная прямая.

Фраза "для какого-то $x_0$ существует $\delta>0$, такое, что из $|x - x_0|<\delta$ следует $f(x) \geqslant f(x_0)$" означает, что точка $x_0$ является точкой нестрогого локального минимума. Фраза "для всякого $x_0$ существует $\delta>0$, такое, что из $|x - x_0|<\delta$ следует $f(x) \geqslant f(x_0)$" означает, что любая точка области определения функции $f(x)$ является точкой нестрогого локального минимума, что возможно только если функция равна константе, так как в противном случае можно было бы указать точку $x_1$ на границе областей, где условие задачи нарушалось бы.

Если бы в условии была фраза, что область определения $f(x)$ могла представлять собой прямую с выколотыми точками, то тогда как раз эти точки и могли бы быть точками раздела областей, где функция постоянна. То есть функция бы могла представлять собой кусочно-постоянную функцию с выколотыми точками на границах областей постоянства.

 
 
 
 Re: Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 13:44 
Аватара пользователя
Нет, это неверно. Пример приведен выше:
gris в сообщении #850401 писал(а):
Например, постоянная, из которой вниз выбито несколько точек (с изолированными значениями аргументов

 
 
 
 Re: Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 13:57 
Аватара пользователя
Тогда где в моём рассуждении ошибка? Из
B@R5uk в сообщении #850428 писал(а):
любая точка области определения функции $f(x)$ является точкой нестрогого локального минимума
не следует, что
B@R5uk в сообщении #850428 писал(а):
функция равна константе
правильно?

-- 16.04.2014, 15:04 --

Просто мне кажется, что утверждение
gris в сообщении #850401 писал(а):
функция может не иметь ни одного интервала постоянства
не верно применительно к функциям, удовлетворяющим условию задачи. Однако, пример
gris в сообщении #850401 писал(а):
постоянная функция, из которой вниз выбито несколько точек (с изолированными значениями аргументов
условию задачи, очевидно, удовлетворяет (я как-то пропустил этот момент совсем). Но точки разрыва функции не могут образовывать непрерывный интервал, поэтому с неизбежностью функция между такими точками будет равна константе.

 
 
 
 Re: Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 14:04 
Аватара пользователя
Ну видите же: не следует.

-- менее минуты назад --

B@R5uk в сообщении #850436 писал(а):
Но точки разрыва функции не могут образовывать непрерывный интервал, поэтому с неизбежностью функция между такими точками...

Между какими?

 
 
 
 Re: Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 14:20 
Аватара пользователя
ИСН в сообщении #850440 писал(а):
Между какими?
"Выбитые вниз" точки функции являются точками строгого минимума. Между двумя такими соседними точками функция обязана быть равной константе. Хотя я прекрасно понимаю, что такие две точки могут лежать сколь угодно близко друг к другу. Но не в плотную. То есть должно существовать эпсилон, большее нуля, но меньшее расстояния между такими двумя точками. В противном случае, можно указать точку максимума функции, что нарушает условие задачи. По этой причине функция Римана не походит под условие задачи не со знаком плюс, ни со знаком минус. Или я опять где-то не прав?

-- 16.04.2014, 15:28 --

Но это моё утверждение, если оно верно, надо ещё строго доказать.

 
 
 
 Re: Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 14:53 
Введем на области определения $X$ функции $f$ отношение эквивалентности $ \sim $ следующим правилом
$x_1 \sim x_2 \Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2)$.
Нужно показать, что в фактор-множестве $X/{\sim}$ не более чем счетное количество элементов. Это достаточно просто.

 
 
 
 Re: Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 17:34 
Аватара пользователя
B@R5uk в сообщении #850448 писал(а):
Между двумя такими соседними точками функция обязана быть равной константе.

Слово "соседними" не даётся даром. Возьмём рациональные точки; какая из них будет соседней с $1\over2$?
Другое дело, что рациональные точки в нашей задаче взять нельзя; но это само по себе надо доказывать.

 
 
 
 Re: Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 19:05 
Cash в сообщении #850462 писал(а):
Введем на области определения $X$ функции $f$ отношение эквивалентности $ \sim $ следующим правилом
$x_1 \sim x_2 \Leftrightarrow f(x_1)=f(x_2)$.
Нужно показать, что в фактор-множестве $X/{\sim}$ не более чем счетное количество элементов. Это достаточно просто.
Мне кажется, что условие задачи просто изложено другими словами. Почему от этого стало легче - непонятно. Буду думать.

 
 
 
 Re: Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 19:48 
Вам не нужно задумываться об "устройстве" функции, только ее свойство из условия. Каждому числу можно поставить в соответствие элемент счетного множества и показать, что числам из разных классов соответствуют различные элементы.
Для того чтобы понять, что нужно ставить в соответствие - докажите для случая кусочно-постоянной функции.

 
 
 
 Re: Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 20:19 
Это известная задача из Натансона ТФВП (в конце каждой главы задачки). Простых задач там нету.
Решена в книге Ульянов П.Л., Бахвалов А.Н., Дьяченко М.И. и др. - Действительный анализ в задачах

 
 
 
 Re: Функция со счетным количеством значений
Сообщение16.04.2014, 21:26 
mihailm в сообщении #850584 писал(а):
Это известная задача из Натансона ТФВП (в конце каждой главы задачки). Простых задач там нету.
Решена в книге Ульянов П.Л., Бахвалов А.Н., Дьяченко М.И. и др. - Действительный анализ в задачах

Ну зачем же так народ пугать? Ничего зубодробительного в задаче нет. Решение ведь в две строчки.

 
 
 [ Сообщений: 26 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group