Окружность, вписанная в прямоуг. треугольник.

[boriska]

Из вер­ши­ны пря­мо­го угла $C$ тре­уголь­ни­ка $ABC$ про­ве­де­на вы­со­та $CP$. Ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в тре­уголь­ник $BCP$, равен $8$, тан­генс угла $BAC$ равен $\dfrac{4}{3}$ .
Най­ди­те ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка $ABC$.

Не совпадает с ответами.



Я делал так: тан­генс угла $BAC$ равен тангенсу угла $BCP$
Пусть $PC=3x$, тогда $PB=4x$, тогда $BC=5x$

$r=8=\dfrac{4x+3x-5x}{2}=x$

Тогда $BC=5x=40$, $AC=30$, тогда $AB=50$.

$r_2=\dfrac{30+40-50}{2}=10$

Ответ: $10$

В оффтопе решение авторов задачи

(Оффтоп)

Ответы разные. Почему?

[svv]

Конечно, они неправы, радиус должен был получиться больше радиуса первой окружности, а получился меньше.

[boriska]

svv в сообщении #850248 писал(а):

Конечно, они неправы, радиус должен был получиться больше радиуса первой окружности, а получился меньше.

Спасибо.
А в чем у них ошибка, интересно? Не получилось найти... Только уравнение неверно решили (точнее один из корней -- неверный). Но взяли корень $x=4$ они для дальнейшего рассуждения (что походу верно, если правильно решить уравнение), но должна быть еще одна ошибка.

[svv]

«Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.» Сказать сказали, а взять половину от произведения забыли.

[boriska]

svv в сообщении #850254 писал(а):

«Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.» Сказать сказали, а взять половину от произведения забыли.

Спасибо.

[melnikoff]

Можно еще по другому решить. Найти коэффициент подобия треугольников: $k=\frac{BC}{BA}=\frac{4}{5}.$
Радиусы вписанных окружностей данных подобных треугольников относятся друг к другу с тем же коэффициентом подобия: $k=\frac{r}{R} \Rightarrow R=\frac{r}{k}=\frac{8}{\frac{4}{5}}=10.$