Угол между вектором и подпространством.

[main.c]

Имеется вектор $x = (6, 1, 1, -18)$ и подпространство $H$ в $R^4$, натянутое на векторы
$e_1=(3, 4, -4, -1)$
$e_2=(0, 1, -1, -2)$
Нужно найти косинус угла и расстояние между вектором $x$ и подпространством $H$.

Я применил ортогонализацию к базисным векторам $e_1$ и $e_2$, получил:
$f_1 = (3, 4, -4, -1)$
$f_2 = (-1, 1, -1, 5)$

$\operatorname{pr}_Hx = (6, 0, 0, -18)$,
$ort_Hx = x - \operatorname{pr}_H = (0, 1, 1, 0)$
$|$ort_Hx| = \sqrt{2}$ - это и есть расстояние
$\cos\alpha = \frac{(x, \operatorname{pr}_Hx)}{|x||\operatorname{pr}_Hx|} = \frac{360}{\sqrt{362}\sqrt{360}} \approx 1$

Ответ в задачнике: $0, \sqrt{2}$
Наверное снова опечатка? И вообще это не логично, потому что если косинус равен нулю, то длина ортогональной составляющей должна быть равна длине вектора $x$. В общем просьба проверить правильность решения. Заранее спасибо.

[ewert]

main.c в сообщении #850260 писал(а):

Я применил ортогонализацию к базисным векторам $e_1$ и $e_2$, получил:
$f_1 = (3, 4, -4, -1)$
$f_2 = (-1, 1, -1, 5)$

И напрасно получили: векторы $e_1=f_1,\ e_2,\ f_2$ -- очевидно, линейно независимы.

[main.c]

ewert в сообщении #850264 писал(а):

main.c в сообщении #850260 писал(а):

Я применил ортогонализацию к базисным векторам $e_1$ и $e_2$, получил:
$f_1 = (3, 4, -4, -1)$
$f_2 = (-1, 1, -1, 5)$

И напрасно получили: векторы $e_1=f_1,\ e_2,\ f_2$ -- очевидно, линейно независимы.

Ну то, что они ЛНЗ - это ещё не значит, что они ортогональны, а чтобы найти проекцию, мне нужны как раз ортогональные вектора.

[ewert]

main.c в сообщении #850267 писал(а):

Ну то, что они ЛНЗ - это ещё не значит, что они ортогональны,

, но это совершенно точно означает, что Ваша попытка ортогонализации откровенно провалилась.

[main.c]

ewert в сообщении #850284 писал(а):

main.c в сообщении #850267 писал(а):

Ну то, что они ЛНЗ - это ещё не значит, что они ортогональны,

, но это совершенно точно означает, что Ваша попытка ортогонализации откровенно провалилась.

Мне кажется мы не поняли друг друга. Векторы $e_1$ и $e_2$ ЛНЗ, но не ортогональны, для того, чтобы найти проекцию по формуле:
$\operatorname{pr}_Hx = \frac{(f_1,x)}{(f_1, f_1)}f_1 + \frac{(f_2,x)}{(f_2, f_2)f_2}f_2$, где {$f_1, f_2$} - это ортогональный базис пространства $H$
Вот именно для этого я ортогонализировал. $(f_1, f_2) = -3 + 4 + 4 - 5 = 0$. Так что я не понимаю, что Вы имели ввиду под "попытка провалилась" и "напрасно получили".

[provincialka]

Да, main.c, вы не поняли. Ортогонализованные векторы лежат в той же плоскости, что исходные. Поэтому все четыре (фактически три) вектора зависимы.
ewert имеет в виду, что вы ошиблись в счёте.

[main.c]

provincialka в сообщении #850362 писал(а):

Да, main.c, вы не поняли. Ортогонализованные векторы лежат в той же плоскости, что исходные. Поэтому все четыре (фактически три) вектора зависимы.
ewert имеет в виду, что вы ошиблись в счёте.

Извиняюсь, $e_2 = (0, 1, -1, 2)$
Я считал с правильным вектором, это уже записываю его здесь, я опечатался. Так что вопрос в верности решения всё ещё актуален.

[iifat]

А зачем, если не секрет, вам ортогонализация?
И что за странная формула для косинуса? По крайней мере, в трёхмерном пространстве угол между вектором и плоскостью есть угол между вектором и его проекцией. Вы, по-моему, синус посчитали. Каковой вполне закономерно что-то около единицы, раз уж косинус примерно нулевой.

[main.c]

iifat в сообщении #850424 писал(а):

А зачем, если не секрет, вам ортогонализация?
И что за странная формула для косинуса? По крайней мере, в трёхмерном пространстве угол между вектором и плоскостью есть угол между вектором и его проекцией. Вы, по-моему, синус посчитали. Каковой вполне закономерно что-то около единицы, раз уж косинус примерно нулевой.

Есть формула, которая работает только для ортогонального базиса, а не для любого, исходный был не ортогональный и я его ортогонализировал, а потом применил формулу:

main.c в сообщении #850358 писал(а):

$\operatorname{pr}_Hx = \frac{(f_1,x)}{(f_1, f_1)}f_1 + \frac{(f_2,x)}{(f_2, f_2)f_2}f_2$, где {$f_1, f_2$} - это ортогональный базис пространства $H$

Так я же ведь и искал угол между проекцией и вектором:

main.c в сообщении #850260 писал(а):

$\cos\alpha = \frac{(x, \operatorname{pr}_Hx)}{|x||\operatorname{pr}_Hx|} = \frac{360}{\sqrt{362}\sqrt{360}} \approx 1$

В общем я так понимаю, что в ответе опечатка или, что скорее всего, записан сам угол, а не косинус угла, хотя в задании спрашивается именно косинус.

[bot]

Циферки, конечно, не очень (наверняка опечатка), но ведь у Вас и подход не очень. Всё бы по готовым формулам считать, а голова отдыхает. Почему бы Вам прямо не поискать проекцию? Ну просто тупо представить суммой $x=у+z$, где $y$ линейно выражается через $e_1$ и $e_2$, а $z$ лортогонально $e_1$ и $e_2$. Из последнего условия получите линейную систему относительно двух неизвестных коэффициентов искомой линейной комбинации. Для этого совсем не обязательно ортогонализировать $e_1, e_2$.