Почему ?

[rightways]

Почему $p_n\le 2n^2$ ? , где $p_n$ - n ное простое число.

[Sonic86]

Потому что
$n (\ln n + \ln\ln n - 1,0073) < p(n) < n (\ln n + \ln\ln n - 0,9385),$
пруф
что следует из $\pi(x)=\int\limits_a^x\frac{dt}{\ln t}+O(xe^{-\sqrt{c\ln x}})$.
Нравится? Нет? Почему?

[gris]

Не слишком ли слабое неравенство? Ведь равенство выполняется только для $n=1$, а потом правая часть совершенно забивает левую. Наверное, следует из неравенства для $\pi(p)$
Ну вот. А я его ищу

[ewert]

Sonic86 в сообщении #850059 писал(а):

Нет? Почему?

Потому, что первое ну никак не может следовать из второго.

[Sonic86]

ewert в сообщении #850091 писал(а):

Потому, что первое ну никак не может следовать из второго.

Да, хорошо. Но такие неравенства просто так не получаются, скорее всего из каких-нибудь аккуратно и долго выточенных оценок $\pi(x)$.
Просто вопрос непонятен, чего хочет автор. Элементарного доказательства или понять хочет? Или чего?

[rightways]

Элементарного доказательства, желательно без логарифмов

[whitefox]

Существует элементарное доказательство теоремы о распределении простых чисел эквивалентной следующему утверждению:

$p_k \sim k\ln k, \quad k\to\infty$

Но оно с логарифмами.

[Null]

Эта оценка получается если аккуратно применить метод решета к числам $2\dots 2n^2$ и неравенство
$(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})\dots(1-\frac{1}{p_k})\ge(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})\dots(1-\frac{1}{k})$