степенные ряды (радиусы сходимости)

[olga_helga]

найти интервалы сходимости ф-циональных рядов:
1)

\[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {n!x^n } \]

2)

\[ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{x^{2n + 1} }} {{2n + 1}}} \]

Надо,чтобы

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\left| {\frac{{a_{n + 1} }} {{a_n }}} \right|} \right.\langle 1 \]

+ проверить поведение рядов на концах интервала.Так вот:
1)

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{(n + 1)!x^{n + 1} }} {{n!x^n }}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {(n + 1)x} \right| \]

.Получается, что ряд расходится на всей числовой прямой?
2)

\[ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\frac{{x^{2n + 3} }} {{2n + 3}}}} {{\frac{{x^{2n + 1} }} {{2n + 1}}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {x^2 \frac{{2n + 1}} {{2n + 3}}} \right| < 1 \]

,

\[ - 1 \leqslant x \leqslant 1 \]

- интервал сходимости ряда + еще надо исследовать поведение ряда при

\[ x = - 1 \]

и

\[ x = 1 \]

.
Правильные рассуждения?

[Lion]

Не совсем. Концы интервала вовсе не обязаны равняться 1 или -1, они находятся по теореме Коши о радиусе сходимости степенного ряда: $R=\frac{1}{\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}}$, где $a_n$ --- коэффициенты степенного ряда, не зависящие от х. Поэтому проверять надо точки $\pm R$.

[olga_helga]

Ну да.Просто в данном случае R=1;
А как насчет первого примера?

[Lion]

Вы неправильно считаете радиус сходимости степенного ряда, путая его с признаком Даламбера для сходимости обычного ряда. Формулу для радиуса сходимости я уже привел, считать надо по ней.