2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 степенные ряды (радиусы сходимости)
Сообщение04.11.2007, 20:12 
найти интервалы сходимости ф-циональных рядов:
1)\[
\sum\limits_{n = 1}^\infty  {n!x^n } 
\]
2)\[
\sum\limits_{n = 1}^\infty  {\frac{{x^{2n + 1} }}
{{2n + 1}}} 
\]
Надо,чтобы \[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\left| {\frac{{a_{n + 1} }}
{{a_n }}} \right|} \right.\langle 1
\] + проверить поведение рядов на концах интервала.Так вот:
1)\[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{(n + 1)!x^{n + 1} }}
{{n!x^n }}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {(n + 1)x} \right|
\].Получается, что ряд расходится на всей числовой прямой?
2)\[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\frac{{x^{2n + 3} }}
{{2n + 3}}}}
{{\frac{{x^{2n + 1} }}
{{2n + 1}}}}} \right| = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left| {x^2 \frac{{2n + 1}}
{{2n + 3}}} \right| < 1
\], \[
 - 1 \leqslant x \leqslant 1
\] - интервал сходимости ряда + еще надо исследовать поведение ряда при
\[
x =  - 1
\] и \[
x = 1
\].
Правильные рассуждения?

 
 
 
 
Сообщение04.11.2007, 20:52 
Аватара пользователя
Не совсем. Концы интервала вовсе не обязаны равняться 1 или -1, они находятся по теореме Коши о радиусе сходимости степенного ряда: $R=\frac{1}{\overline{\lim\limits_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}}$, где $a_n$ --- коэффициенты степенного ряда, не зависящие от х. Поэтому проверять надо точки $\pm R$.

 
 
 
 
Сообщение04.11.2007, 20:54 
Ну да.Просто в данном случае R=1;
А как насчет первого примера?

 
 
 
 
Сообщение04.11.2007, 20:57 
Аватара пользователя
Вы неправильно считаете радиус сходимости степенного ряда, путая его с признаком Даламбера для сходимости обычного ряда. Формулу для радиуса сходимости я уже привел, считать надо по ней.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group