Найти интеграл

[SlayZar]

Добрый день!
Требуется найти неопределённый интеграл!
$\int \frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2+x-2}}\,dx$.

Пробовал действовать так:
$\int \frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2+x-2}}\,dx = \int \frac{1}{(x-1)\sqrt{(x+\frac{1}{2})^2-\frac{9}{4}}}\,dx$

Тогда если сделать замену $u=x+\frac{1}{2}; du=dx$

Тогда получаем $\int \frac{1}{(u-\frac{3}{2})\sqrt{(u^2-\frac{9}{4})}}\,du = \int \frac{1}{(u-\frac{3}{2})(\sqrt{(u-\frac{3}{2})((u+\frac{3}{2}))}}\,du$

И если заменить $u-\frac{3}{2}$ на $t$ имеем

$\int \frac{1}{t\sqrt{t^2+3t}}\,dt$

Подскажите, пожалуйста, правильный ли ход решения и если да, как действовать дальше?

[Otta]

У Вас же есть учебники. Задачники. А в них есть раздел "Интегрирование иррациональностей". А в них обязательно это все рассмотрено по случаям. Почему не читаете? И усложнили себе жизнь. Уже.

Ну, если не ошиблись, сделайте замену $z=1/t$.
Более краткий путь - сделать аналогичную замену сначала.

[Legioner93]

Ваше решение не читал, извините.
С самого начала напрашивается замена $t=\frac{1}{x-1}$ (ведь и в трёхчлене эта скобка есть!), после чего интеграл становится совсем детским.

[SlayZar]

По сути наш интеграл имеет вид
$\int \frac{1}{x-1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}\frac{1}{\sqrt{x+2}}\,dx$

заменяем $\frac{1}{x-1}=t$; $ dt=-\frac{1}{(x-1)^2}dx=-t^2dx$ и получаем

$\int \frac{1}{x-1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}\frac{1}{\sqrt{x+2}}\,dx=-\int t\sqrt{t}\frac{1}{\sqrt{x+2}}\,\frac{dt}{t^2}=-$\int \frac{1}{\sqrt{t}}\frac{1}{\sqrt{x+2}}\,dt=

Как нам теперь $\frac{1}{\sqrt{x+2}} $ через $t$ выразить?

[Otta]

SlayZar в сообщении #849424 писал(а):

По сути наш интеграл имеет вид
$\int \frac{1}{x-1}\frac{1}{\sqrt{x-1}}\frac{1}{\sqrt{x+2}}\,dx$

Вот это не надо. Вы сужаете область определения. Работайте с исходным.

[SlayZar]

Тогда начну сначала
$\int \frac{1}{(x-1)\sqrt{x^2+x-2}}\,dx $

$\{t=\frac{1}{x-1}; dt=-\frac{1}{(x-1)^2}dx\}$

$\int \frac{1}{\frac{1}{t}\sqrt{\frac{1}{t}(\frac{1}{t}+3)}}\,(-\frac{1}{t^2}dt) = -\int \frac{1}{t\sqrt{\frac{1}{t^2}+\frac{3}{t}}}dt= -\int \frac{1}{\sqrt{1+3t}}dt=$

$\{u=3t+1; du=3dt\}$

$= -\int \frac{1}{\sqrt{u}}\frac{du}{3} = -\frac{1}{3}2\sqrt{u} = -\frac{2}{3}\sqrt{3t+1} = -\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x+2}{x-1}} = -\frac{2(x+2)}{3\sqrt{x^2+x-2}}$

Вроде бы все получилось! Спасибо за помощь!