Интеграл

[MestnyBomzh]

Найти интеграл:

$$\int \frac{x^6-2x^4+3x^3-9x^2+4}{x^5-5x^3+4x}dx$$

Для начала, заметил, что знаменатель замечательно раскладывается:

$$\int \frac{x^6-2x^4+3x^3-9x^2+4}{x^5-5x^3+4x}dx=\int \frac{x^6-2x^4+3x^3-9x^2+4}{x(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)}dx$$

Дальше хотел разложить на $\int(\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2}+\frac{D}{x-2}+\frac{E}{x-1}+\frac{F}{x+1})$, но получается степень числителя не больше $4$-ой. Тогда два из $A,B...F$ представляются в виде: $Gx+H$ и $Jx+K$. Но 1) непонятно, какие из букв $A,B...F$ принимают эти значения 2) вычисления буду очень громоздкими.
Подскажите, как тут действовать, спасибо!

[Limit79]

Я бы разделил числитель на знаменатель, столбиком.

[provincialka]

Разложение в простейшие возможно только для правильной дроби. Выделите целую часть.
Кстати, вы знаете "метод закрывания"? Сильно упрощает жизнь в таких простых случаях.

[MestnyBomzh]

Разделил. Делится только один раз. Получилось: $x+\frac{3x^4+3x^3-13x^2+4}{x^5-5x^3+4x}$. Числитель остался все равно солидным. Было бы хорошо, если бы в числителе была производная знаменателя:D

provincialka в сообщении #849299 писал(а):

Кстати, вы знаете "метод закрывания"?

Первый раз слышу. И гугл не знает, почему-то..

[Limit79]

А теперь раскладываете на простейшие.

Коэффициенты находятся элементарно: подставляете $x=0$ в итоге получите уравнение относительно одного коэффициента, аналогично остальные. Возможно, provincialka имела ввиду это.

[MestnyBomzh]

Limit79 в сообщении #849310 писал(а):

А теперь раскладываете на простейшие.

Поочередно делить на корни знаменателя?

Limit79 в сообщении #849310 писал(а):

Коэффициенты находятся элементарно: подставляете $x=0$ в итоге получите уравнение относительно одного коэффициента, аналогично остальные.

А..Кажется, знаю. Сначала домножаем все уравнение на $(x-\alpha)$ и подставляем $x=\alpha$?

[provincialka]

Ну да. Этот результат можно получить без всяких домножений так: Чтобы найти $A$, в выражении $\dfrac{P(x)}{(x-a)Q(x)}$ закрываем (просто рукой) в знаменателе множитель $(x-a)$, а в остальное выражение подставляем вместо $x$ число $a$.

[MestnyBomzh]

Ну вот как-то так получается. Может долго, но, вроде как, верно:
$\int \frac{3x^4+3x^3-13x^2+4}{x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}dx=\int \frac{3(x^4-x^2)+3(x^3-x^2)-4(x^2-1)-3(x^2-1)-3}{x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}=\int \frac{3x}{(x-2)(x+2)}+\int \frac{3x}{(x+1)(x-2)(x+2)}-\int \frac{4}{x(x-2)(x+2)}-\int \frac{3}{x(x-2)(x+2)}+\int \frac{3}{x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}$
Далее $3x=3(x-1)+3$, опять делим. А дальше по методу закрывания разбираем каждый интеграл по отдельности
Вроде вот так

[provincialka]

Все это совершенно не нужно! Сразу закрывание! Например, с каким коэффициентом $A$ будет дробь вида $\frac{A}{x-1}$?
Получаем: $A=\frac{3x^4+3x^3-13x^2+4}{x(x+1)(x-2)(x+2)}|_{x=1}=\frac{3+3-13+4}{1\cdot2\cdot(-1)\cdot3}=\frac12$

[MestnyBomzh]

provincialka
Да уж, а это все раскладывал так долго...Вы правы.
Получилось так
$A=\frac{1}{2},B=\frac{3}{2},C=1,D=-1,E=1$, где $A...E$, это коэффициенты:

$$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-2}+\frac{D}{x+2}+\frac{E}{x}$$

Тогда получаем, что

$$\frac{3x^4+3x^3-13x^2+4}{x(x+1)(x-1)(x-2)(x+2)}=\frac{1}{2(x-1)}+\frac{3}{2(x+1)}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x}$$

[provincialka]

Судя по тому, что коэффициенты "хорошие", все верно. Осталось взять интеграл.

[MestnyBomzh]

Ну это само собой. Получилось в итоге $\frac{x^2}{2}+\ln(\sqrt{x-1})+\frac{3}{2}\ln(\left | x+1 \right |)+\ln(\left | x-2 \right |)-\ln(\left | x+2 \right |)+\ln(\left | x \right |)$

[provincialka]

И плюс $C$

[MestnyBomzh]

Как обычно забываю

[sergei1961]

Закрывание-интересное слово. Меня учили-метод вычёркивания, но закрывание-точнее.