2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Интеграл
Сообщение13.04.2014, 19:57 
Аватара пользователя
Найти интеграл: $$\int \frac{x^6-2x^4+3x^3-9x^2+4}{x^5-5x^3+4x}dx$$
Для начала, заметил, что знаменатель замечательно раскладывается:
$$\int \frac{x^6-2x^4+3x^3-9x^2+4}{x^5-5x^3+4x}dx=\int \frac{x^6-2x^4+3x^3-9x^2+4}{x(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)}dx$$ Дальше хотел разложить на $\int(\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x+2}+\frac{D}{x-2}+\frac{E}{x-1}+\frac{F}{x+1})$, но получается степень числителя не больше $4$-ой. Тогда два из $A,B...F$ представляются в виде: $Gx+H$ и $Jx+K$. Но 1) непонятно, какие из букв $A,B...F$ принимают эти значения 2) вычисления буду очень громоздкими.
Подскажите, как тут действовать, спасибо!

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение13.04.2014, 19:59 
Я бы разделил числитель на знаменатель, столбиком.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение13.04.2014, 20:00 
Аватара пользователя
Разложение в простейшие возможно только для правильной дроби. Выделите целую часть.
Кстати, вы знаете "метод закрывания"? Сильно упрощает жизнь в таких простых случаях.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение13.04.2014, 20:27 
Аватара пользователя
Разделил. Делится только один раз. Получилось: $x+\frac{3x^4+3x^3-13x^2+4}{x^5-5x^3+4x}$. Числитель остался все равно солидным. Было бы хорошо, если бы в числителе была производная знаменателя:D
provincialka в сообщении #849299 писал(а):
Кстати, вы знаете "метод закрывания"?

Первый раз слышу. И гугл не знает, почему-то..

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение13.04.2014, 20:30 
А теперь раскладываете на простейшие.

Коэффициенты находятся элементарно: подставляете $x=0$ в итоге получите уравнение относительно одного коэффициента, аналогично остальные. Возможно, provincialka имела ввиду это.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение13.04.2014, 20:36 
Аватара пользователя
Limit79 в сообщении #849310 писал(а):
А теперь раскладываете на простейшие.

Поочередно делить на корни знаменателя?
Limit79 в сообщении #849310 писал(а):
Коэффициенты находятся элементарно: подставляете $x=0$ в итоге получите уравнение относительно одного коэффициента, аналогично остальные.

А..Кажется, знаю. Сначала домножаем все уравнение на $(x-\alpha)$ и подставляем $x=\alpha$?

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение13.04.2014, 20:38 
Аватара пользователя
Ну да. Этот результат можно получить без всяких домножений так: Чтобы найти $A$, в выражении $\dfrac{P(x)}{(x-a)Q(x)}$ закрываем (просто рукой) в знаменателе множитель $(x-a)$, а в остальное выражение подставляем вместо $x$ число $a$.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение13.04.2014, 21:11 
Аватара пользователя
Ну вот как-то так получается. Может долго, но, вроде как, верно:
$\int \frac{3x^4+3x^3-13x^2+4}{x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}dx=\int \frac{3(x^4-x^2)+3(x^3-x^2)-4(x^2-1)-3(x^2-1)-3}{x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}=\int \frac{3x}{(x-2)(x+2)}+\int \frac{3x}{(x+1)(x-2)(x+2)}-\int \frac{4}{x(x-2)(x+2)}-\int \frac{3}{x(x-2)(x+2)}+\int \frac{3}{x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)}$
Далее $3x=3(x-1)+3$, опять делим. А дальше по методу закрывания разбираем каждый интеграл по отдельности
Вроде вот так

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение13.04.2014, 21:23 
Аватара пользователя
Все это совершенно не нужно! Сразу закрывание! Например, с каким коэффициентом $A$ будет дробь вида $\frac{A}{x-1}$?
Получаем: $A=\frac{3x^4+3x^3-13x^2+4}{x(x+1)(x-2)(x+2)}|_{x=1}=\frac{3+3-13+4}{1\cdot2\cdot(-1)\cdot3}=\frac12$

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение13.04.2014, 21:56 
Аватара пользователя
provincialka
Да уж, а это все раскладывал так долго...Вы правы.
Получилось так
$A=\frac{1}{2},B=\frac{3}{2},C=1,D=-1,E=1$, где $A...E$, это коэффициенты: $$\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-2}+\frac{D}{x+2}+\frac{E}{x}$$
Тогда получаем, что $$\frac{3x^4+3x^3-13x^2+4}{x(x+1)(x-1)(x-2)(x+2)}=\frac{1}{2(x-1)}+\frac{3}{2(x+1)}+\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x}$$

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение13.04.2014, 22:03 
Аватара пользователя
Судя по тому, что коэффициенты "хорошие", все верно. Осталось взять интеграл.

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение13.04.2014, 22:10 
Аватара пользователя
Ну это само собой. Получилось в итоге $\frac{x^2}{2}+\ln(\sqrt{x-1})+\frac{3}{2}\ln(\left | x+1 \right |)+\ln(\left | x-2 \right |)-\ln(\left | x+2 \right |)+\ln(\left | x \right |)$

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение13.04.2014, 22:14 
Аватара пользователя
И плюс $C$ :D

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение13.04.2014, 22:18 
Аватара пользователя
Как обычно забываю :D

 
 
 
 Re: Интеграл
Сообщение13.04.2014, 22:29 
Закрывание-интересное слово. Меня учили-метод вычёркивания, но закрывание-точнее.

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group