Неопределенный интеграл

[Limit79]

Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, как лучше взять интеграл:

$$\int \cos^5(x) \sin^9(x) dx$$

Есть мысль использовать рекуррентные формулы, но, может быть можно как-то без них?

Спасибо!

[provincialka]

Нечетная степень синуса (или косинуса) - это большая удача в таком интеграле. Пойдите простым путем: возьмите за новую переменную косинус. А лучше - синус.

[Limit79]

provincialka
Спасибо, получилось!

Единственный вопрос:

$t=\sin(x) \Rightarrow \sin^9(x) = t^9$

$dt = \cos(x) dx$

Мне нужно найти выражение для $\cos^5(x) dx$.

$\cos^4(x) dt = \cos^5(x) dx$

$(\cos^2(x))^2 dt = \cos^5(x) dx$

$(1-\sin^2(x))^2 dt = \cos^5(x) dx \Rightarrow \cos^5(x) dx = (1-t^2)^2 dt$

Корректны ли последние три записи (ведь в их левой части обе переменные)?

[provincialka]

Limit79 в сообщении #849295 писал(а):

(ведь в их левой части обе переменные)?

Ничего, ведь это временное явление. Главное, чтобы в конце была одна.

[Limit79]

provincialka
Понял, спасибо за помощь!