Непонятные тройные произведения

[Sinoid]

Здравствуйте! Чтобы не было недоразумений по поводу жирных-нежирных шрифтов и, вообще, по поводу оформления, хочу показать, как это выглядит в задачнике:

хостинг изображений png
Теперь, собственно, вопрос. Первые 2 тождества проверились на ура, к ним вопросов нет. Проблемы с третьим и четвертым, их я наберу в ТеХе. Вот они:

3) $(\overline{a}\times\overline{b})^{2}(\overline{a}\times\overline{c})^{2}((\overline{a}\times\overline{b})\cdot(\overline{a}\times\overline{c}))^{2}=\overline{a}^{2}(\overline{a}\overline{b}\overline{c})^{2}$ и

4) $\overline{a}\times(\overline{v}\times\overline{w})\cdot\overline{b}\times(\overline{w}\times\overline{u})\cdot\overline{c}\times(\overline{u}\times\overline{v})=\overline{u}\times(\overline{b}\times\overline{c})\cdot\overline{v}\times(\overline{c}\times\overline{a})\cdot\overline{w}\times(\overline{a}\times\overline{b})$

В третьем тождестве непонятно, откуда берется тройное произведение, а в четвертом, вообще, непонятно, в какой последовательности считать. Подскажите, пожалуйста, хотелось бы узнать компетентное мнение.

[angor6]

Sinoid, в математике нет царских путей, и, по-видимому, никто не имеет в кармане готового решения сформулированной Вами задачи... Почему бы не попробовать сравнить результаты выполнения операций в левых и правых частях равенств, то есть решить задачи "в лоб"?

[mihailm]

Sinoid в сообщении #848803 писал(а):

...В третьем тождестве непонятно, откуда берется тройное произведение...

Это явно обычное смешанное произведение, что значит "откуда берется"?

[мат-ламер]

Sinoid в сообщении #848803 писал(а):

а в четвертом, вообще, непонятно, в какой последовательности считать.

Точки - это смешанное произведение?

[provincialka]

Особо не вдумывалась. Но, может, в третьем задании извлечь корень и заменить все квадраты на модули? Тогда почти все они приобретут ясный геометрический смысл (площадь параллелограмма, объем параллелепипеда).

[svv]

В третьем. Если заменить $\vec a$ на $t\vec a$, обе части должны умножиться на $t$ в одной и той же степени. Но слева степень 8, справа 4. Значит, тождество неверно (где-то опечатка).

[provincialka]

svv, точно! А если сравнить "размерности" по отдельным переменным, окажется, что в правой части каждая из них должна встречаться в 2 раза чаще, чем сейчас.

[svv]

В третьем пропущен «минус»:
$(\overline{a}\times\overline{b})^{2}(\overline{a}\times\overline{c})^{2}-((\overline{a}\times\overline{b})\cdot(\overline{a}\times\overline{c}))^{2}=\overline{a}^{2}(\overline{a}\overline{b}\overline{c})^{2}$

[Sinoid]

мат-ламер в сообщении #848818 писал(а):

Точки - это смешанное произведение?

Нет же! точки, как обычно, скалярные произведения.

mihailm в сообщении #848816 писал(а):

Это явно обычное смешанное произведение, что значит "откуда берется"?

Я использовал формулу для раскрытия $(\overline{a}\times\overline{b})\cdot(\overline{c}\times\overline{d})$

[provincialka]

Скалярного произведения трех векторов не может быть. Это смешанное.

[Sinoid]

svv в сообщении #848825 писал(а):

$(\overline{a}\times\overline{b})^{2}(\overline{a}\times\overline{c})^{2}-((\overline{a}\times\overline{b})\cdot(\overline{a}\times\overline{c}))^{2}=\overline{a}^{2}(\overline{a}\overline{b}\overline{c})^{2}$

Даже если и так,
$(\overline{a}\times\overline{b})\cdot(\overline{a}\times\overline{c})=\begin{vmatrix}\overline{a}^{2} & \overline{a}\cdot\overline{c}\\ \overline{a}\cdot\overline{b} & \overline{b}\cdot\overline{c} \end{vmatrix} $
И где тут тройное произведение?

[mihailm]

Sinoid в сообщении #848836 писал(а):

...И где тут тройное произведение?

А что такое тройное произведение?

[svv]

Наверное, надо подсказать...
Левая часть в третьем задании имеет вид
$\vec p^2 \vec q^2-(\vec p\cdot\vec q)^2$
Покажите, что это равно $(\vec p\times\vec q)^2$.

[Sinoid]

$\overline{a}\overline{b}\overline{c}=(\overline{a}\times\overline{b})\cdot\overline{c}=\overline{a}\cdot(\overline{b}\times\overline{c})$
С определением порядок, знаю. Я бы, не имея понятия о теме, и начинать не стал: зачем тратить время людей?

[svv]

Задание «Проверить справедливость следующих тождеств» допускает ответ: «Проверка показала, что тождество несправедливо. Вот контрпример: ...»