Коммутирующие операторы

[QVADROUPOL]

Здравствуйте.
Есть теорема о том, что если коммутатор двух операторов равен нулю, то эти операторы имеют общую систему собственных функций.
Вопрос вот в чем, относится ли эта теорема к любым операторам или только к эрмитовым?(просто во многих источниках видел, что пишут операторы физических величин, но в доказательстве я не увидел, где используется эрмитовость)

[g______d]

QVADROUPOL в сообщении #848047 писал(а):

Есть теорема о том, что если коммутатор двух операторов равен нулю, то эти операторы имеют общую систему собственных функций.
Вопрос вот в чем, относится ли эта теорема к любым операторам или только к эрмитовым?

Пример: $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ и $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$.

[QVADROUPOL]

Если честно, не очень понял в чем заключается пример, и что он доказывает.

Если я правильно понял, то он показывает, что у НЕкоммутирующих операторов есть общий собственный вектор?

[Ms-dos4]

QVADROUPOL
Приведённые g______d операторы коммутируют? А собственные вектора у них общие?

[QVADROUPOL]

Ms-dos4 в сообщении #848168 писал(а):

QVADROUPOL
Приведённые g______d операторы коммутируют? А собственные вектора у них общие?

Я понял, они коммутируют, но у них есть один общий собственный вектор.
Я как раз и спрашиваю, следует ли из того, что два оператора коммутируют, что у них есть собственный вектор, хотя бы один?
Изначально вопрос вызван тем, что надо доказать что у двух операторов трансляции есть общая собственная функция, я и думаю, является ли это следствием того, что ои коммутируют?

[g______d]

QVADROUPOL в сообщении #848170 писал(а):

Я как раз и спрашиваю, следует ли из того, что два оператора коммутируют, что у них есть собственный вектор, хотя бы один?

В конечномерном пространстве хотя бы один есть. Но бывает так, что этим одним все и ограничивается, как в приведенном мной примере.

В бесконечномерном пространстве у оператора может вообще не быть собственных векторов. Даже у эрмитова.

-- Чт, 10 апр 2014 13:38:02 --

QVADROUPOL в сообщении #848047 писал(а):

в доказательстве я не увидел, где используется эрмитовость

Чтобы была общая система собственных функций, надо, чтобы была просто система собственных функций (видимо, хочется, чтобы она еще была полной), а для этого нужна либо эрмитовость, либо похожее условие.

Еще есть некоторая проблема с тем, что такое собственная функция в случае, если у оператора есть непрерывный спектр.

[QVADROUPOL]

Спасибо за ответ.

g______d в сообщении #848188 писал(а):

В конечномерном пространстве хотя бы один есть. Но бывает так, что этим одним все и ограничивается, как в приведенном мной примере.

А как это можно доказать, или где об этом прочитать, можете посоветовать?

g______d в сообщении #848188 писал(а):

Чтобы была общая система собственных функций, надо, чтобы была просто система собственных функций (видимо, хочется, чтобы она еще была полной), а для этого нужна либо эрмитовость, либо похожее условие.

А вот с конкретным оператором трансляции, если я предполагаю, что у первого есть система функций, отвечающих одному собственному значению, можно ли повторять доказательство того, что тогда у коммутирующего с ним оператора тоже будет такая система функций?

[g______d]

QVADROUPOL в сообщении #848201 писал(а):

А как это можно доказать, или где об этом прочитать, можете посоветовать?

Пусть пространство конечномерно и $A$ коммутирует с $B$. У $A$ есть хотя бы один собственный вектор (известный факт), пусть $Av=\lambda v$. Тогда $A(Bv)=B(Av)=B(\lambda V)=\lambda (Bv)$. Следовательно, $Bv$ будет собственным вектором для $A$ с тем же собственным значением (ну или $Bv=0$). Следовательно, (непустое) собственное подпространство оператора $A$, отвечающее собственному значению $\lambda$, является инвариантным подпространством $B$. Иными словами, действие оператора $B$ не выводит из этого подпространства. Рассмотрим сужение $B$ на указанное подпространство; у него есть хотя бы один собственный вектор, он будет общим для $A$ и $B$.

Доказательство не работает в бесконечномерном случае, поскольку опирается на факт "у оператора в конечномерном пространстве есть хотя бы один собственный вектор".

-- Чт, 10 апр 2014 15:17:26 --

QVADROUPOL в сообщении #848201 писал(а):

А вот с конкретным оператором трансляции, если я предполагаю, что у первого есть система функций, отвечающих одному собственному значению, можно ли повторять доказательство того, что тогда у коммутирующего с ним оператора тоже будет такая система функций?

Можно найти эти функции и вычислить действие на них второго оператора.

[ewert]

QVADROUPOL в сообщении #848047 писал(а):

но в доказательстве я не увидел, где используется эрмитовость

Ну доказательства разные бывают, наверное. Но если в принципе, то ключевую роль для эрмитовых операторов играет то, что ортогональное дополнение к собственному подпространству является инвариантным подпространством. Это позволяет провести редукцию по размерности (в конечномерном случае, естественно; но и на бесконечномерный эти соображения в известном смысле обобщаются). Сам же по себе факт инвариантности ортогонального дополнения верен не только для эрмитовых операторов, но и вообще для любых нормальных; в частности, для унитарных.

-- Пт апр 11, 2014 11:20:35 --

QVADROUPOL в сообщении #848201 писал(а):

А вот с конкретным оператором трансляции, если я предполагаю, что у первого есть система функций,

А что такое оператор трансляции? Если имеется в виду сдвиг ($v=T_au\ \Leftrightarrow\ v(x)=u(x-a)$), то у него вообще нет собственных функций -- у него спектр чисто непрерывен. Правда, этот оператор унитарен, так что в соответствующем обобщении под теорему он подпадает.

[QVADROUPOL]

ewert в сообщении #848285 писал(а):

А что такое оператор трансляции? Если имеется в виду сдвиг ($v=T_au\ \Leftrightarrow\ v(x)=u(x-a)$), то у него вообще нет собственных функций -- у него спектр чисто непрерывен. Правда, этот оператор унитарен, так что в соответствующем обобщении под теорему он подпадает.

Я имел ввиду $v=T_au\ \Leftrightarrow\ v(x)=u(x+a)$.
Тогда я не очень понимаю, есть же функции Блоха, они являются собственными для такого оператора.

[ewert]

QVADROUPOL в сообщении #848647 писал(а):

есть же функции Блоха, они являются собственными для такого оператора.

Они (я уже давно их сдал и потому помню очень смутно, но догадываюсь, о чём речь, довольно надёжно) -- это т.наз. "собственные функции непрерывного спектра". Т.наз. исключительно на жаргоне, точного математического смысла этот термин не имеет, в отличие от собственных функций в обычном понимании.

[Munin]

Всё просто зависит от того, над каким пространством оператор рассматривать. Собственные функции $e^{-ikx}$ просто не убывают на бесконечности и не имеют конечного интеграла, как привыкли оговаривать некоторые для простоты. Но в других пространствах они вполне полноправные представители.

[g______d]

Munin в сообщении #848849 писал(а):

Всё просто зависит от того, над каким пространством оператор рассматривать. Собственные функции $e^{-ikx}$ просто не убывают на бесконечности и не имеют конечного интеграла, как привыкли оговаривать некоторые для простоты. Но в других пространствах они вполне полноправные представители.

Ну разумеется, например, в $L^{\infty}$ это вполне собственные вектора. Но $L^{\infty}$ не является гильбертовым, в нем не определить сопряженный оператор (так, чтобы он действовал там же), нет спектральной теоремы для самосопряженного оператора и вообще нет понятия самосопряженного оператора.

С другой стороны, если оставаться в исходном гильбертовом пространстве и работать не с отдельными собственными функциями (которые поодиночке все равно редко когда нужны), а со спектральными проекторами, никаких проблем не будет.