Сумма ряда

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые форумчане!

Прошу помощи с такой задачей: найти сумму ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} (n^2-9n+9) x^n$$

Думал дифференцировать или интегрировать, но ничего хорошего, увы, не получается

Подскажите, пожалуйста, с чего начать. Спасибо!

[ИСН]

Начать с чего-нибудь хорошего, а потом дифференцировать или интегрировать. Хорошее откладывать в сторону по мере появления, а то опять испортится.

[Limit79]

ИСН
Разложить на множители?

[ewert]

Limit79 в сообщении #848044 писал(а):

Разложить на множители?

Не на множители. Прилично суммируются, как известно, $(n+2)(n+1)x^n$, $(n+1)x^n$ и просто $x^n$. Вот по этим коэффициентам исходный коэффициент и разложить.

[Limit79]

ewert

$$n^2-9n+9 = (n+1)(n+2) - 12n+7$$

А как найти

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n+1)(n+2) x^n $$

?

[ИСН]

Limit79 в сообщении #848059 писал(а):

А как найти

А что Вы сначала думали делать с Вашим примером?

-- менее минуты назад --

Это был тонкий намёк.

[Limit79]

ИСН в сообщении #848063 писал(а):

А что Вы сначала думали делать с Вашим примером?

Отдельно искать суммы множителей?

Что-то я далеко полез... пока буду думать, как $\sum\limits_{n=1}^{\infty}nx^n$ посчитать

[Ms-dos4]

Диффиренцируйте ряд $\[\sum\limits_{k = 1}^n {{x^k}} \]$ (ну его то вы знаете как просуммировать, для простоты даже добавьте единицу и рассмотрите $\[\sum\limits_{k = 0}^n {{x^k}} \]$). Получите кучу сумм рядов, если не поленитесь.

[ИСН]

Limit79 в сообщении #848070 писал(а):

Отдельно искать суммы множителей?

Никакого постоянства у нынешней молодёжи.

Limit79 в сообщении #848040 писал(а):

Думал дифференцировать или интегрировать

[ewert]

Limit79 в сообщении #848059 писал(а):

А как найти

$$ \sum\limits_{n=1}^{\infty} (n+1)(n+2) x^n $$

?

А Вы угадайте. Раз уж Вы умеете брать производные хотя бы даже и от степеней.