2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 белка в колесе
Сообщение06.04.2014, 13:31 


10/02/11
6786
Изображение


Колесо в котором находится белка может свободно вращаться вокруг неподвижной оси проходящей через его центр.
Белка (обозначена на картинке точкой $S$) начинает бежать по внутренней поверхности колеса из положения $A$. Колесо в начальный момент времени покоится. Модуль скорости белки относительно поверхности колеса постоянен и равен $v$. Масса белки -- $m$; радиус колеса $r$; момент инерции колеса относительно оси вращения -- $J$.
При какой минимальной скорости $v$ белка достигнет точки $B$ т.е. поднимимется на высоту $r$?

 Профиль  
                  
 
 Re: белка в колесе
Сообщение07.04.2014, 16:52 
Заслуженный участник


03/01/09
1707
москва
Составляем уравнение для изменения момента системы. В результате получим д.у. для угловой скорости колеса:$$(mr^2+J)\dot \omega =-mgr\sin \varphi \qquad (1)$$здесь $\omega $- угловая скорость колеса, $\varphi $- угол $AOS$($O$ - центр колеса ). Когда белка находится в т.А угловая скорость колеса равна $\omega _0=-\dfrac {mvr}{J+mr^2}$, а когда белка в точке $B$, угловая скорость равна (если мы ищем минимальную скорость $v$ ) $\omega _1 =-\dfrac vr$ Подставим в (1) $\dot \omega =(\dfrac vr+\omega )\dfrac {d\omega }{d\varphi }$ и найдем $v=\sqrt {2k(k+1)gr}$ где $k=\dfrac {mr^2}{J}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: белка в колесе
Сообщение08.04.2014, 16:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Oleg Zubelevich в сообщении #846155 писал(а):
начинает бежать по внутренней поверхности колеса из положения $A$. Колесо в начальный момент времени покоится. Модуль скорости белки относительно поверхности колеса постоянен

Формально говоря, эти три предложения противоречивы. Т.е. такие начальные условия, конечно, возможны, но тогда их надо описывать другими словами.

mihiv в сообщении #846771 писал(а):
д.у. для угловой скорости колеса:$$(mr^2+J)\dot \omega =-mgr\sin \varphi \qquad (1)$$

Это правда; только почему именно колеса? С ровно таким же, но гораздо бОльшим успехом можно считать, что там угловая скорость белки (эти скорости ведь всё равно различаются на константу). В таком случае это -- уравнение математического маятника с эффективной длиной подвеса $R=r+\dfrac{J}{mr}$. И если принять начальные условия задачки за чистую монету, то по закону сохранения энергии $\omega_0=\sqrt{\dfrac{2g}R}$ и, следовательно, $v_0=\omega_0r=\sqrt{\dfrac{2gr}{1+\frac{J}{mr^2}}}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: белка в колесе
Сообщение09.04.2014, 07:06 
Заслуженный участник


03/01/09
1707
москва
ewert в сообщении #847181 писал(а):
следовательно, $v_0=\omega_0r=\sqrt{\dfrac{2gr}{1+\frac{J}{mr^2}}}$

Это скорость белки относительно внешнего наблюдателя при $t=0$, а в условии, как я понял, требуется найти скорость белки относительно колеса.

 Профиль  
                  
 
 Re: белка в колесе
Сообщение09.04.2014, 20:31 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
mihiv в сообщении #847445 писал(а):
а в условии, как я понял, требуется найти скорость белки относительно колеса.

а в условии колесо покоилось

 Профиль  
                  
 
 Re: белка в колесе
Сообщение09.04.2014, 20:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
ewert в сообщении #847619 писал(а):
а в условии колесо покоилось

А белка каааааак толнёт его :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: белка в колесе
Сообщение09.04.2014, 22:03 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nikvic в сообщении #847631 писал(а):
А белка каааааак толнёт его :wink:

А про каааааак в условии ничего не сказавно.

Впрочем, если каааааак, то это вопрос элементарного пересчёта:

$\begin{cases}J\omega_1=mr^2\widetilde\omega_0, \\ \omega_1+\widetilde\omega_0=\omega_0,\end{cases}$

откуда $\omega_0=\widetilde\omega_0\left(1+\frac{mr^2}{J}\right).$ Вот на эту скобку окончательный результат и надо дополнительно домножить. Но в условии про это ничего не сказано.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group