белка в колесе

[Oleg Zubelevich]

Колесо в котором находится белка может свободно вращаться вокруг неподвижной оси проходящей через его центр.
Белка (обозначена на картинке точкой $S$) начинает бежать по внутренней поверхности колеса из положения $A$. Колесо в начальный момент времени покоится. Модуль скорости белки относительно поверхности колеса постоянен и равен $v$. Масса белки -- $m$; радиус колеса $r$; момент инерции колеса относительно оси вращения -- $J$.
При какой минимальной скорости $v$ белка достигнет точки $B$ т.е. поднимимется на высоту $r$?

[mihiv]

Составляем уравнение для изменения момента системы. В результате получим д.у. для угловой скорости колеса:

$$(mr^2+J)\dot \omega =-mgr\sin \varphi \qquad (1)$$

здесь $\omega $- угловая скорость колеса, $\varphi $- угол $AOS$($O$ - центр колеса ). Когда белка находится в т.А угловая скорость колеса равна $\omega _0=-\dfrac {mvr}{J+mr^2}$, а когда белка в точке $B$, угловая скорость равна (если мы ищем минимальную скорость $v$ ) $\omega _1 =-\dfrac vr$ Подставим в (1) $\dot \omega =(\dfrac vr+\omega )\dfrac {d\omega }{d\varphi }$ и найдем $v=\sqrt {2k(k+1)gr}$ где $k=\dfrac {mr^2}{J}$.

[ewert]

Oleg Zubelevich в сообщении #846155 писал(а):

начинает бежать по внутренней поверхности колеса из положения $A$. Колесо в начальный момент времени покоится. Модуль скорости белки относительно поверхности колеса постоянен

Формально говоря, эти три предложения противоречивы. Т.е. такие начальные условия, конечно, возможны, но тогда их надо описывать другими словами.

mihiv в сообщении #846771 писал(а):

д.у. для угловой скорости колеса:

$$(mr^2+J)\dot \omega =-mgr\sin \varphi \qquad (1)$$

Это правда; только почему именно колеса? С ровно таким же, но гораздо бОльшим успехом можно считать, что там угловая скорость белки (эти скорости ведь всё равно различаются на константу). В таком случае это -- уравнение математического маятника с эффективной длиной подвеса $R=r+\dfrac{J}{mr}$. И если принять начальные условия задачки за чистую монету, то по закону сохранения энергии $\omega_0=\sqrt{\dfrac{2g}R}$ и, следовательно, $v_0=\omega_0r=\sqrt{\dfrac{2gr}{1+\frac{J}{mr^2}}}$.

[mihiv]

ewert в сообщении #847181 писал(а):

следовательно, $v_0=\omega_0r=\sqrt{\dfrac{2gr}{1+\frac{J}{mr^2}}}$

Это скорость белки относительно внешнего наблюдателя при $t=0$, а в условии, как я понял, требуется найти скорость белки относительно колеса.

[ewert]

mihiv в сообщении #847445 писал(а):

а в условии, как я понял, требуется найти скорость белки относительно колеса.

а в условии колесо покоилось

[nikvic]

ewert в сообщении #847619 писал(а):

а в условии колесо покоилось

А белка каааааак толнёт его

[ewert]

nikvic в сообщении #847631 писал(а):

А белка каааааак толнёт его

А про каааааак в условии ничего не сказавно.

Впрочем, если каааааак, то это вопрос элементарного пересчёта:

$\begin{cases}J\omega_1=mr^2\widetilde\omega_0, \\ \omega_1+\widetilde\omega_0=\omega_0,\end{cases}$

откуда $\omega_0=\widetilde\omega_0\left(1+\frac{mr^2}{J}\right).$ Вот на эту скобку окончательный результат и надо дополнительно домножить. Но в условии про это ничего не сказано.