2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дифференциальная модель маятника
Сообщение06.04.2014, 22:25 


20/02/13
33
Здравствуйте!

Я пишу небольшой доклад для конференции. Тема -- низкочастотная стабилизация верхнего положения равновесия маятника.

Сейчас все почти готово, но не получается сделать кое-какие выкладки. Подробнее:

Есть такое уравнение колебаний маятника с покоящейся точкой подвеса:

$$l \theta '' + l \alpha \theta + g \sin \theta = 0$$

Перепишем его в другом виде:

$$
\theta '' + \alpha \theta ' + v_0^2 \sin \theta = 0 \text{, } (v_0^2 = g/l) \text{ (1)} 
$$

(в предположении, что трение пропорционально скорости), где $\theta$ -- угол отклонения, отсчитываемый от нижнего положения равновесия, $\alpha$ -- коэффициент трения подшипника в точке подвеса, $v_0 = \sqrt{g/l}$ -- собственная частота малых колебаний ($l$ -- длина маятника, $g$ -- ускорение свободного падения).

Пусть точка подвеса совершает колебания в вертикальном направлении по закону $y = y(t)$, где $y$ -- некоторая периодическая функция. Чтобы составить уравнение колебаний маятника с вибрирующей точкой подвеса воспользуемся принципом относительности, согласно которому движение маятника с вертикально вибрирующей точкой подвеса эквивалентно движению маятника с покоящейся точкой подвеса, находящемуся в поле <<силы тяжести>> с ускорением $g + y''(x)$. Поэтому заменим в (1) $g$ на $g + y''(t)$. Это возможно, так как мы просто переходим к новой системе отсчета в физической модели. В результате получим искомое уравнение:

$$
\theta '' + \alpha \theta ' + \frac{g+y''(t)}{l} \sin \theta = 0  \text{ (2)} 
$$

Уравнение (2) допускает стационарное решение $\theta(t) = \pi$, соответствующее верхнему положению равновесия маятника (стационарное решение $\theta(t) = 0$ соответствует нижнему положению равновесия маятника).

Проведем линеаризацию данного уравнения маятника. Для этого разложим функцию $\sin(x)$ в ряд Тейлора, после чего оставим в разложении только линейные члены относительно $x$. Из формулы разложения функции в ряд Тейлора в заданной точке $a$ (где $a = \pi$) имеем:

$$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+ ...$$

$$\sin (\theta) = \sin(\pi) + \cos(\pi)(\theta-\pi) + ... = 0 - (\theta - \pi) + ... = \pi - \theta + ...$$

Отсюда:

$$\sin (\theta) \sim ~ -\theta$$

Тогда уравнение первого приближения (уравнение в вариациях) выглядит так:
$$
\theta '' + \alpha \theta ' + (s(t)-v_0^2) \theta = 0 \text{ (3)} 
$$

где $s(t) = -\frac{y''(t)}{l}$ -- ускорение точки подвеса, $v_0 = \sqrt{g/l}$ -- собственная частота малых колебаний.

Исследуем уравнение (3). Задача состоит в том, чтобы найти функцию $s(t)$ такую, чтобы положение равновесия уравнения (3), когда $\theta = 0$, $\theta ' = 0$ (то есть, когда угол отклонения равен нулю и скорость равна нулю) было асимптотически устойчивым.

Перейдем от уравнения (3) к эквивалентной ему системе ($x_1 = \theta$, $x_2 = \theta '$)
$$
\begin{cases}
x_1' = x_2,\\
x_2' = - \alpha x_2 - (s(t) - v_0^2) x_1.
\end{cases}  \text{ (4)} 
$$

где стабилизирующая функция $s(t)$ подлежит определению.

Будем искать стабилизирующую функцию $s(t)$ в классе кусочно-постоянных периодических с периодом $T$ (где $T$ -- достаточно большое число) функций вида
$$
s(t)=\begin{cases}
- \beta,&\text{при } t \in [0, T/4), \\
\beta,&\text{при } t \in [T/4, 3T/4), s(t + T) = s(t) \text{ } \forall T \in [0, + \infty ) \\
- \beta,&\text{при } t \in [3T/4, T).
\end{cases} \text{ (5)} 
$$

(где $\beta > 0$), имеющих нулевое среднее на периоде.

Для функций $s(t)$ вида (5) покажем возможность стабилизации верхнего положения равновесия маятника при низкочастотных колебаниях точки подвеса. Для этого мы рассмотрим поведение системы (3) отдельно во всех трех случаях значения стабилизирующей функции $s(t)$.

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть в системе (4), (5)
$$
\alpha ^2 < 4 (\beta - v_0^2) \text{ (6)} 
$$

Тогда для любого числа $M > 0$ существует число $T > M$ такое, что система (4) с функцией $s(t)$ вида (5) асимптотически устойчива.


Доказательство. Прежде всего, заметим, что, не умаляя общности, можно считать
$$
v^2 \equiv \beta - \ v_0^2 - \alpha^2 / 4 = 1  \text{ (7)} 
$$

Этого можно добиться всегда, сделав в уравнении (3) или в системе (4) замену времени
$$t = \frac{\tau}{v} \text{, т. е. } \tau = v t$$

Вот это именно то место, в котором у меня возникают проблемы.

Проведем некоторые выкладки:

$\frac{d \theta}{dt}=\frac{d \theta}{d \tau} \frac{d \tau}{dt}=\frac{d \theta}{d \tau}v$
$\frac{d^2 \theta}{dt^2}=\left(\frac{d \theta}{d \tau}v\right)\frac{d}{dt}=v\frac{d^2 \theta}{d \tau^2} \frac{d \tau}{dt}=v \frac{d^2 \theta}{d \tau^2}v=v^2\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}$

Подставим эти результаты в уравнение (3):

Пусть $s(t)=\beta$:

$v^2\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}+ \alpha v\frac{d \theta}{d \tau}+(\beta - v_0^2)\theta(\frac{\tau}{v})=0$
$v^2\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}=- \alpha v\frac{d \theta}{d \tau}-(\beta - v_0^2)\theta(\frac{\tau}{v})$
$v^2=\left(- \alpha v\frac{d \theta}{d \tau}-(\beta - v_0^2)\theta(\frac{\tau}{v})\right)/\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}$

Преподаватель говорил, что $v^2$ -- это частота, поэтому ее можно принять за единицу. Тогда:

$v^2=\left(- \alpha v\frac{d \theta}{d \tau}-(\beta - v_0^2)\theta(\frac{\tau}{v}) \right)/\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}=1$

Но то, что посерединке, никак не похоже на то, что должно быть в (7), и я даже не представляю, можно ли к этому как-нибудь прийти.

Пожалуйста, подскажите, как выпутаться из этой проблемы.

Большое спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная модель маятника
Сообщение07.04.2014, 00:42 


20/02/13
33
Ой, я ошибся. В последнем описанном выше этапе нужно положить $s(t)=-\beta$. Просто в дальнейшем свойство (7) будет использоваться именно при данном значении функции управления, поэтому такая подстановка логична, я думаю. Тогда получим:

$v^2=\left(- \alpha v\frac{d \theta}{d \tau}-(-\beta - v_0^2)\theta(\frac{\tau}{v}) \right)/\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}=1$

$v^2=\left(- \alpha v\frac{d \theta}{d \tau}+\beta \theta(\frac{\tau}{v}) + v_0^2\theta(\frac{\tau}{v}) \right)/\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}=1$

$v^2=\left(\beta \theta(\frac{\tau}{v}) + v_0^2\theta(\frac{\tau}{v})- \alpha v\frac{d \theta}{d \tau} \right)/\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}=1$

Но это все так же далеко от требуемой истины.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная модель маятника
Сообщение07.04.2014, 07:58 


10/02/11
6786
danildushistov в сообщении #846467 писал(а):
низкочастотная стабилизация верхнего положения равновесия маятника.

а почему это вообще должно быть возможным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная модель маятника
Сообщение07.04.2014, 09:36 


05/09/12
2587
Oleg Zubelevich, вот в этой статье начиная со стр. 4 это вроде как доказывается, ТС честно скопипастил свой пост оттуда, потренировавшись в ТЕХе заодно.

danildushistov, дилетантское имхо - у вас есть линейный диффур с какими-то коэффициентами, между этими коэффициентами есть некое соотношение. Если вы делаете пропорциональную замену времени, то в результате эти коэффициенты обрастают сомножителями - коэффициентами пропорциональности в разных степенях, зависящих от порядка производной при данном коэффициенте. И утверждается, что подбором этого коэффициента пропорциональности можно изменить исходное соотношение между коэффициентами на другое желаемое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная модель маятника
Сообщение07.04.2014, 22:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599
Oleg Zubelevich в сообщении #846576 писал(а):
а почему это вообще должно быть возможным?

Ну, хот бы потому, что
danildushistov в сообщении #846467 писал(а):
низкочастотная стабилизация верхнего положения равновесия маятника

только звучит страшно. А так, беру линейку, ставлю ея вертикально, приземляю на палец и ме-е-е-едленно... низкочастотно так... на даю оной грохнуться. Опыт доступный ребёнку :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная модель маятника
Сообщение07.04.2014, 22:22 


05/09/12
2587
Утундрий, есть разные способы стабилизации инвертед пендулум - моментом силы в шарнире подвеса, вращением маховика на звене маятника, горизонтальными перемещениями точки подвеса - линейка на вашем пальце или балансиры на тележке, маятник на колесе с управлением моментом между колесом и звеном маятника - многочисленные балансирующие сегвеи, вертикальными перемещениями точки подвеса - маятник Капицы (случай ТС). Только, насколько я краем глаза видел, классический маятник Капицы стабилизируется периодическим воздействием большой частоты, а ТС рассматривает (копипастит рассмотренный) случай стабилизации маятника Капицы периодическим вертикальным воздействием малой частоты.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная модель маятника
Сообщение07.04.2014, 22:28 


16/02/10
258
Утундрий в сообщении #846933 писал(а):
Ну, хот бы потому, что низкочастотная стабилизация верхнего положения равновесия маятника
только звучит страшно. А так, беру линейку, ставлю ея вертикально, приземляю на палец и ме-е-е-едленно... низкочастотно так... на даю оной грохнуться. Опыт доступный ребёнку :mrgreen:

Замечу только, что в данной постановке палец может двигаться только в вертикальном направлении. Ребенок не справиться.
Oleg Zubelevich в сообщении #846576 писал(а):
а почему это вообще должно быть возможным?

Очевидный пример, когда частота вообще равна нулю: движение точки подвеса вниз с постоянным ускорением большим g.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная модель маятника
Сообщение08.04.2014, 18:06 


10/02/11
6786
_Ivana в сообщении #846599 писал(а):
h, вот в этой статье
начиная со стр. 4 это вроде как доказывается,

да, мне понравилось, остроумный красивый эффект. он только кажется тривиальным из-за того, что уравнение явно интегрируется.

Утундрий в сообщении #846933 писал(а):
А так, беру линейку, ставлю ея вертикально, приземляю на палец и ме-е-е-едленно... низкочастотно так... на даю оной грохнуться.


это другая задача, но Вы этого, увы, не поймете

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная модель маятника
Сообщение08.04.2014, 18:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
30/12/24
12599

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #847235 писал(а):
Вы этого, увы, не поймете

Увы мне, увы! :D

Строгую вертикальность я действительно не заметил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная модель маятника
Сообщение08.04.2014, 18:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152

(Оффтоп)

_Ivana в сообщении #846962 писал(а):
Только, насколько я краем глаза видел, классический маятник Капицы стабилизируется периодическим воздействием большой частоты

Такой маятник показывал сыну - были когда-то вибрационные, а скрепки и стержни для шариковой ручки есть и сейчас.

Для "косого" направления колебаний - два "косых" положений равновесия, выше места подвеса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дифференциальная модель маятника
Сообщение08.04.2014, 22:30 


20/02/13
33
Сегодня научный руководитель сказал, что, в принципе, можно и не доказывать, что $v^2 \equiv \beta - \ v_0^2 - \alpha^2 / 4 = 1.$ Нам все равно нужно будет делать подбор частоты $v$ так, чтобы это равенство выполнялось.

Это свойство используется только в одном месте -- чтобы в устойчивом фокусе, который возникает в случае $s(t) = \beta$, у нас был поворот на угол $t$, а в общем случае у нас будет поворот на угол $t\sqrt{\beta - \ v_0^2 - \alpha^2 / 4}$. Для этого и нужно было изменение масштаба времени -- чтобы угол поворота выглядел минималистично.

Если это кому-нибудь интересно, я могу написать здесь полный текст доказательства, когда отработаю еще пару тонкостей.

Спасибо за помощь!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group