Дифференциальная модель маятника

[danildushistov]

Здравствуйте!

Я пишу небольшой доклад для конференции. Тема -- низкочастотная стабилизация верхнего положения равновесия маятника.

Сейчас все почти готово, но не получается сделать кое-какие выкладки. Подробнее:

Есть такое уравнение колебаний маятника с покоящейся точкой подвеса:

$$l \theta '' + l \alpha \theta + g \sin \theta = 0$$

Перепишем его в другом виде:

$$ \theta '' + \alpha \theta ' + v_0^2 \sin \theta = 0 \text{, } (v_0^2 = g/l) \text{ (1)} $$

(в предположении, что трение пропорционально скорости), где $\theta$ -- угол отклонения, отсчитываемый от нижнего положения равновесия, $\alpha$ -- коэффициент трения подшипника в точке подвеса, $v_0 = \sqrt{g/l}$ -- собственная частота малых колебаний ($l$ -- длина маятника, $g$ -- ускорение свободного падения).

Пусть точка подвеса совершает колебания в вертикальном направлении по закону $y = y(t)$, где $y$ -- некоторая периодическая функция. Чтобы составить уравнение колебаний маятника с вибрирующей точкой подвеса воспользуемся принципом относительности, согласно которому движение маятника с вертикально вибрирующей точкой подвеса эквивалентно движению маятника с покоящейся точкой подвеса, находящемуся в поле <<силы тяжести>> с ускорением $g + y''(x)$. Поэтому заменим в (1) $g$ на $g + y''(t)$. Это возможно, так как мы просто переходим к новой системе отсчета в физической модели. В результате получим искомое уравнение:

$$ \theta '' + \alpha \theta ' + \frac{g+y''(t)}{l} \sin \theta = 0 \text{ (2)} $$

Уравнение (2) допускает стационарное решение $\theta(t) = \pi$, соответствующее верхнему положению равновесия маятника (стационарное решение $\theta(t) = 0$ соответствует нижнему положению равновесия маятника).

Проведем линеаризацию данного уравнения маятника. Для этого разложим функцию $\sin(x)$ в ряд Тейлора, после чего оставим в разложении только линейные члены относительно $x$. Из формулы разложения функции в ряд Тейлора в заданной точке $a$ (где $a = \pi$) имеем:

$$f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + ... + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+ ...$$

$$\sin (\theta) = \sin(\pi) + \cos(\pi)(\theta-\pi) + ... = 0 - (\theta - \pi) + ... = \pi - \theta + ...$$

Отсюда:

$$\sin (\theta) \sim ~ -\theta$$

Тогда уравнение первого приближения (уравнение в вариациях) выглядит так:

$$ \theta '' + \alpha \theta ' + (s(t)-v_0^2) \theta = 0 \text{ (3)} $$

где $s(t) = -\frac{y''(t)}{l}$ -- ускорение точки подвеса, $v_0 = \sqrt{g/l}$ -- собственная частота малых колебаний.

Исследуем уравнение (3). Задача состоит в том, чтобы найти функцию $s(t)$ такую, чтобы положение равновесия уравнения (3), когда $\theta = 0$, $\theta ' = 0$ (то есть, когда угол отклонения равен нулю и скорость равна нулю) было асимптотически устойчивым.

Перейдем от уравнения (3) к эквивалентной ему системе ($x_1 = \theta$, $x_2 = \theta '$)

$$ \begin{cases} x_1' = x_2,\\ x_2' = - \alpha x_2 - (s(t) - v_0^2) x_1. \end{cases} \text{ (4)} $$

где стабилизирующая функция $s(t)$ подлежит определению.

Будем искать стабилизирующую функцию $s(t)$ в классе кусочно-постоянных периодических с периодом $T$ (где $T$ -- достаточно большое число) функций вида

$$ s(t)=\begin{cases} - \beta,&\text{при } t \in [0, T/4), \\ \beta,&\text{при } t \in [T/4, 3T/4), s(t + T) = s(t) \text{ } \forall T \in [0, + \infty ) \\ - \beta,&\text{при } t \in [3T/4, T). \end{cases} \text{ (5)} $$

(где $\beta > 0$), имеющих нулевое среднее на периоде.

Для функций $s(t)$ вида (5) покажем возможность стабилизации верхнего положения равновесия маятника при низкочастотных колебаниях точки подвеса. Для этого мы рассмотрим поведение системы (3) отдельно во всех трех случаях значения стабилизирующей функции $s(t)$.

Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть в системе (4), (5)

$$ \alpha ^2 < 4 (\beta - v_0^2) \text{ (6)} $$

Тогда для любого числа $M > 0$ существует число $T > M$ такое, что система (4) с функцией $s(t)$ вида (5) асимптотически устойчива.

Доказательство. Прежде всего, заметим, что, не умаляя общности, можно считать

$$ v^2 \equiv \beta - \ v_0^2 - \alpha^2 / 4 = 1 \text{ (7)} $$

Этого можно добиться всегда, сделав в уравнении (3) или в системе (4) замену времени

$$t = \frac{\tau}{v} \text{, т. е. } \tau = v t$$

Вот это именно то место, в котором у меня возникают проблемы.

Проведем некоторые выкладки:

$\frac{d \theta}{dt}=\frac{d \theta}{d \tau} \frac{d \tau}{dt}=\frac{d \theta}{d \tau}v$
$\frac{d^2 \theta}{dt^2}=\left(\frac{d \theta}{d \tau}v\right)\frac{d}{dt}=v\frac{d^2 \theta}{d \tau^2} \frac{d \tau}{dt}=v \frac{d^2 \theta}{d \tau^2}v=v^2\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}$

Подставим эти результаты в уравнение (3):

Пусть $s(t)=\beta$:

$v^2\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}+ \alpha v\frac{d \theta}{d \tau}+(\beta - v_0^2)\theta(\frac{\tau}{v})=0$
$v^2\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}=- \alpha v\frac{d \theta}{d \tau}-(\beta - v_0^2)\theta(\frac{\tau}{v})$
$v^2=\left(- \alpha v\frac{d \theta}{d \tau}-(\beta - v_0^2)\theta(\frac{\tau}{v})\right)/\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}$

Преподаватель говорил, что $v^2$ -- это частота, поэтому ее можно принять за единицу. Тогда:

$v^2=\left(- \alpha v\frac{d \theta}{d \tau}-(\beta - v_0^2)\theta(\frac{\tau}{v}) \right)/\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}=1$

Но то, что посерединке, никак не похоже на то, что должно быть в (7), и я даже не представляю, можно ли к этому как-нибудь прийти.

Пожалуйста, подскажите, как выпутаться из этой проблемы.

Большое спасибо за помощь!

[danildushistov]

Ой, я ошибся. В последнем описанном выше этапе нужно положить $s(t)=-\beta$. Просто в дальнейшем свойство (7) будет использоваться именно при данном значении функции управления, поэтому такая подстановка логична, я думаю. Тогда получим:

$v^2=\left(- \alpha v\frac{d \theta}{d \tau}-(-\beta - v_0^2)\theta(\frac{\tau}{v}) \right)/\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}=1$

$v^2=\left(- \alpha v\frac{d \theta}{d \tau}+\beta \theta(\frac{\tau}{v}) + v_0^2\theta(\frac{\tau}{v}) \right)/\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}=1$

$v^2=\left(\beta \theta(\frac{\tau}{v}) + v_0^2\theta(\frac{\tau}{v})- \alpha v\frac{d \theta}{d \tau} \right)/\frac{d^2 \theta}{d \tau^2}=1$

Но это все так же далеко от требуемой истины.

[Oleg Zubelevich]

danildushistov в сообщении #846467 писал(а):

низкочастотная стабилизация верхнего положения равновесия маятника.

а почему это вообще должно быть возможным?

[_Ivana]

Oleg Zubelevich, вот в этой статье начиная со стр. 4 это вроде как доказывается, ТС честно скопипастил свой пост оттуда, потренировавшись в ТЕХе заодно.

danildushistov, дилетантское имхо - у вас есть линейный диффур с какими-то коэффициентами, между этими коэффициентами есть некое соотношение. Если вы делаете пропорциональную замену времени, то в результате эти коэффициенты обрастают сомножителями - коэффициентами пропорциональности в разных степенях, зависящих от порядка производной при данном коэффициенте. И утверждается, что подбором этого коэффициента пропорциональности можно изменить исходное соотношение между коэффициентами на другое желаемое.

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #846576 писал(а):

а почему это вообще должно быть возможным?

Ну, хот бы потому, что

danildushistov в сообщении #846467 писал(а):

низкочастотная стабилизация верхнего положения равновесия маятника

только звучит страшно. А так, беру линейку, ставлю ея вертикально, приземляю на палец и ме-е-е-едленно... низкочастотно так... на даю оной грохнуться. Опыт доступный ребёнку

[_Ivana]

Утундрий, есть разные способы стабилизации инвертед пендулум - моментом силы в шарнире подвеса, вращением маховика на звене маятника, горизонтальными перемещениями точки подвеса - линейка на вашем пальце или балансиры на тележке, маятник на колесе с управлением моментом между колесом и звеном маятника - многочисленные балансирующие сегвеи, вертикальными перемещениями точки подвеса - маятник Капицы (случай ТС). Только, насколько я краем глаза видел, классический маятник Капицы стабилизируется периодическим воздействием большой частоты, а ТС рассматривает (копипастит рассмотренный) случай стабилизации маятника Капицы периодическим вертикальным воздействием малой частоты.

[VPro]

Утундрий в сообщении #846933 писал(а):

Ну, хот бы потому, что низкочастотная стабилизация верхнего положения равновесия маятника
только звучит страшно. А так, беру линейку, ставлю ея вертикально, приземляю на палец и ме-е-е-едленно... низкочастотно так... на даю оной грохнуться. Опыт доступный ребёнку

Замечу только, что в данной постановке палец может двигаться только в вертикальном направлении. Ребенок не справиться.

Oleg Zubelevich в сообщении #846576 писал(а):

а почему это вообще должно быть возможным?

Очевидный пример, когда частота вообще равна нулю: движение точки подвеса вниз с постоянным ускорением большим g.

[Oleg Zubelevich]

_Ivana в сообщении #846599 писал(а):

h, вот в этой статье
начиная со стр. 4 это вроде как доказывается,

да, мне понравилось, остроумный красивый эффект. он только кажется тривиальным из-за того, что уравнение явно интегрируется.

Утундрий в сообщении #846933 писал(а):

А так, беру линейку, ставлю ея вертикально, приземляю на палец и ме-е-е-едленно... низкочастотно так... на даю оной грохнуться.

это другая задача, но Вы этого, увы, не поймете

[Утундрий]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #847235 писал(а):

Вы этого, увы, не поймете

Увы мне, увы!

Строгую вертикальность я действительно не заметил.

[nikvic]

(Оффтоп)

_Ivana в сообщении #846962 писал(а):

Только, насколько я краем глаза видел, классический маятник Капицы стабилизируется периодическим воздействием большой частоты

Такой маятник показывал сыну - были когда-то вибрационные, а скрепки и стержни для шариковой ручки есть и сейчас.

Для "косого" направления колебаний - два "косых" положений равновесия, выше места подвеса.

[danildushistov]

Сегодня научный руководитель сказал, что, в принципе, можно и не доказывать, что $v^2 \equiv \beta - \ v_0^2 - \alpha^2 / 4 = 1.$ Нам все равно нужно будет делать подбор частоты $v$ так, чтобы это равенство выполнялось.

Это свойство используется только в одном месте -- чтобы в устойчивом фокусе, который возникает в случае $s(t) = \beta$, у нас был поворот на угол $t$, а в общем случае у нас будет поворот на угол $t\sqrt{\beta - \ v_0^2 - \alpha^2 / 4}$. Для этого и нужно было изменение масштаба времени -- чтобы угол поворота выглядел минималистично.

Если это кому-нибудь интересно, я могу написать здесь полный текст доказательства, когда отработаю еще пару тонкостей.

Спасибо за помощь!