Замена в интеграле

[armez]

Интеграл $\int_{0}^{\pi}\ln({1+2k \cos{\varphi}+k^2}) d\varphi $ равен нулю. Можно ли подобрать какую-либо достаточно простую замену, сводящую его к интегралу от нечётной функции в симметричных пределах?

[Ms-dos4]

Почему вы решили, что он равен нулю?

[svv]

integrate ln(1+2*0.3*cos(x)+0.3^2) dx from 0 to pi

[ИСН]

Нулю он равен из каких-то банальных электростатических соображений, а доказывается на пальцах, наверное, тоже просто. Ну-ка, что получится, если развернуть его задом наперёд и сложить сам с собой?

[Ms-dos4]

ИСН
У меня получилось, что нулю он равен только при $\[k \to \pm 1\]$

[ИСН]

Моё дело - сказать...

[Ms-dos4]

ИСН
Нет, я не спорю, я имею ввиду, вы уверены, что он равен нулю при любом $\[k\]$? Тогда пойду искать у себя ошибку.

[Otta]

Нет, при $|k|\le 1$.

[armez]

Конечно, имелось в виду, что $|k| \le 1$.
Доказательства равенства нулю известны, но недостаточно просты.
Вопрос в том, можно ли обойтись одной заменой.

[Otta]

Из того, что я посмотрела, проще всего получилось методами ТФКП. Общий случай, кстати.
В некотором смысле это тоже замена.

[armez]

Конечно, так можно, но ТФКП выглядит тяжёлой артиллерией. Хотелось бы всё свести именно к интегралу от нечётной функции в симметричных пределах.

[Ms-dos4]

Удвоив интеграл, можно всё это дело свести к рядам Фурье. Но там возни будет ещё больше, чем с ТФКП

[provincialka]

Вообще-то этот пример в Демидовиче находится в разделе интегралов, зависящих от параметра.

[Otta]

provincialka в сообщении #847362 писал(а):

Вообще-то этот пример в Демидовиче находится в разделе интегралов, зависящих от параметра.

Ну да, я так и делала. По параметру, а потом тфкпой.
Можно и без тфкпы, конечно, но с тфкпой гораздо проще.

[armez]

Ms-dos4 в сообщении #847359 писал(а):

Удвоив интеграл, можно всё это дело свести к рядам Фурье. Но там возни будет ещё больше, чем с ТФКП

Конечно. Это один из известных способов. Такой вариант не устраивает.

-- 08.04.2014, 21:27 --

provincialka в сообщении #847362 писал(а):

Вообще-то этот пример в Демидовиче находится в разделе интегралов, зависящих от параметра.

... причём для произвольных значениях параметра. Интересует всего лишь доказательство равенства нулю при значениях, по модулю меньших единицы. Ради этого дифференцировать по параметру не хочется.
Кстати, случай $|k|>1$ сводится к случаю $|k|<1$.