Бесконечно гладкие функции с "врезками"

[_Ivana]

Очередной раз при прочтении чужой темы у меня возникли мысли и вопросы. Чтобы не захватывать чужую тему, создаю свою.
Итак, есть некая бесконечное число раз дифференцируемая функция. Можно ли утверждать, что на любом конечном интервале мы можем заменить ее значения неким полиномом бесконечной степени, чтобы получившаяся функция оставалась бесконечно дифференцируемой? Будет ли этот полином сходиться к некоей предельной функции при увеличении его степени или "пойдет вразнос"?

[Oleg Zubelevich]

а можно внятней? например, что такое полином бесконечной степени и что значит "заменить" и в каком смысле "можно"?

[_Ivana]

Попробую.
Полином бесконечной степени - например, ряд Тэйлора в точке. Для любого аргумента из окрестности точки полином сходится к значению функции.
Заменить - получить из исходной функции другую, заменив значения исходной функции на каком-то конечном интервале ее области определения на значения другой функции на этом интервале.
Можно - будет ли такая конструкция удовлетворять некоторым условиям - например, сходимости, при построении итерационного процесса: решения задачи для полинома конечной степени и рассмотрения предела на бесконечной степени.

[Oleg Zubelevich]

вообще говоря вот такое: $\sup_{|x|<c}|\sum_{k=0}^N a_kx^k-f(x)|\to 0,\quad N\to\infty$ невозможно для функции $f\in C^\infty(-2c,2c)$, если я правильно понял вопрос

[Munin]

_Ivana в сообщении #846222 писал(а):

Munin, спасибо, второе предложение понятно, действительно очевидно. А по первому - надо подумать, если хватит знаний.

Первое аннулируется (поглощается) вторым.

Первое я писал, когда смутно помнил ваш вопрос. Потом вернулся по теме, перечитал, чётко сформулировал, и получилось второе. А так, ничего глубокомысленного там не было.

[_Ivana]

В общем случае, скорее всего, этот итерационный процесс не будет сходиться, однако, для случая гладкой ступеньки многочлены малых четных степеней ведут себя так (степени четные от 4 до 28, дальше затруднения с численным моделированием, большие факториалы и плохо обусловленные матрицы):

[Munin]

Я всё-таки не понимаю вашего нового вопроса. Вы хотите приблизить разрывную функцию бесконечно дифференцируемой?

"Бесконечный полином" - это выглядит примерно как на языке рубежа 18-19 века, когда ведущие математики формулировали понятие аналитичности и бесконечной дифференцируемости.

[_Ivana]

Есть функция одной переменной, определенная на всей вещественной оси, за исключением конечного интервала, во всех внутренних точках своей области определения она бесконечно дифференцируема. Я хочу "сшить" - доопределить ее на этом конечном интервале, чтобы она стала определена и бесконечно дифференцируема на всем множестве действительных чисел. В качестве "вставки" хочу использовать некую функцию, к которой будет стремиться (если будет) некий итерационный процесс, заключающийся в сшивке двух кусков области определения исходной функции полиномом, обеспечивающим непрерывность k производных (слева и справа) с последующим устремлением k к бесконечности. Например, если последовательность полиномов на картинке выше действительно сходится к некоей функции, то эта функция бесконечно гладко "сшивает" такую функцию, как $f(x) = 0, x <= 0; f(x) = 1, x >= 1$

[Oleg Zubelevich]

_Ivana в сообщении #846385 писал(а):

доопределить ее на этом конечном интервале,

что значит "доопределить"? ведь она уже определена всюду:

_Ivana в сообщении #846385 писал(а):

Есть функция одной переменной, определенная на всей вещественной оси

[_Ivana]

_Ivana в сообщении #846385 писал(а):

определенная на всей вещественной оси, за исключением конечного интервала

_Ivana в сообщении #846385 писал(а):

$f(x) = 0, x <= 0; f(x) = 1, x >= 1$

[Munin]

_Ivana в сообщении #846385 писал(а):

Есть функция одной переменной, определенная на всей вещественной оси, за исключением конечного интервала, во всех внутренних точках своей области определения она бесконечно дифференцируема. Я хочу "сшить" - доопределить ее на этом конечном интервале, чтобы она стала определена и бесконечно дифференцируема на всем множестве действительных чисел.

Ну давайте вставим на этом интервале такую функцию: $S=\operatorname{erf}\bigl(-2x/(x^2-1)\bigr),\quad -1\leqslant x\leqslant 1,$ промасштабированную соответственно. Она "заклеит разницу" между значениями функции (нулевыми производными).



Хочется склеить первые производные? Берём первообразную $S^{-\prime}=(d/dx)^{-1}S,$ и (поправив её функцией $S$ так, чтобы нулевые производные на концах интервала равнялись нулю) добавим её в интервал. Дальше вторые? Берём вторую первообразную $S^{-\prime\prime},$ и так далее...

Годится вам такая процедура? Конкретная функция $S$ взята "от балды", чтобы она была подобна $e^{-1/x}$ на обоих концах конечного интервала.

(Оффтоп)

Чтобы написать знаки нестрогих неравенств, можно использовать:
1. легкозапоминаемые команды \le, \ge или \leq, \geq: $\le,\ge$;
2. команды для более красивых и привычных символов \leqslant, \geqslant: $\leqslant,\geqslant.$

[_Ivana]

Munin в сообщении #846480 писал(а):

Годится вам такая процедура?

Навскидку выглядит обещающе, надо будет попробовать на примере. И, как и в случае многочленов, не ясен вопрос сходимости результата.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #846480 писал(а):

Хочется склеить первые производные? Берём первообразную $S^{-\prime}=(d/dx)^{-1}S,$ и (поправив её функцией $S$ так, чтобы нулевые производные на концах интервала равнялись нулю) добавим её в интервал. Дальше вторые? Берём вторую первообразную $S^{-\prime\prime},$ и так далее...

то, что две константы можно сшить в бесконечно гладкую функцию всем хорошо известно, ну а многочлен-то где?

-- Пн апр 07, 2014 10:05:10 --

Подберем такой многочлен $P_\varepsilon(x)$, что

$$\Big|\frac{f'(x)}{x^n(x-1)^n}-P_\varepsilon(x)\Big|<\varepsilon,\quad x\in[0,1]$$

пусть $\tilde P_\varepsilon(x)=\int_0^xs^n(s-1)^nP_\varepsilon(s)ds$

имеем

1) $|f(x)-\tilde P_\varepsilon(x)|\le \varepsilon,\quad x\in[0,1]$

2) $\tilde P_\varepsilon(0)=\tilde P^{(k)}_\varepsilon(0)=\tilde P^{(k)}_\varepsilon(1)=0,\quad k=1,\ldots, n$
и это хорошо, а плохо то, что $\tilde P_\varepsilon(1)\ne 0$

[g______d]

Можно же построить многочлен, у которого в нуле и в единице заданы первые $N$ производных. Сделаем у него производные, как у функции, вычтем, применим склейку к тому, что получилось, потом прибавим многочлен обратно.

Можно обобщить это на случай "бесконечной степени", используя тот факт, что для любой последовательности чисел существует гладкая функция, у которой эта последовательность будет последовательностью производных в нуле. Иными словами, можно сшить сразу все производные, каким бы они ни были (но исходная функция должна быть бесконечно гладкой, разумеется).

[_Ivana]

Oleg Zubelevich пытаюсь осознать написанное.

g______d Именно это я и имел в виду, и моделировал с графиком на картинке. Только непонятны 2 момента:

1) Что значит

Цитата:

вычтем, применим склейку к тому, что получилось, потом прибавим многочлен обратно

и зачем это? Достаточно остановиться на

Цитата:

Сделаем у него производные, как у функции

- включая нулевые, и наш текущий элемент последовательности многочленов готов. У него в нуле и единице первые $N$ производных (с нулевой по $N-1$ - ю) совпадают с нашей функцией. А далее просто увеличиваем $N$.

2) Как из существования ряда Тэйлора бесконечно гладкой функции в одной точке (с известными коэффициентами разложения) следует существование и сходимость к пределу такой же конструкции, но заданной в двух точках?

ЗЫ: кстати, для синуса в точках 0 и $\pi/2$ этот метод совсем не стремится к исходному синусу.