Области определений и значений функций

[foo-bar2014]

Функции обычно определяются как отображение из области определений в область значений. И, как правило, когда мы их используем, мы подразумеваем, что область определений и область значений входят в одно множество, например, в множество натуральных чисел. А может ли быть такая функция, область определений и область значений которой НЕ входят в одно и то же множество?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

foo-bar2014 в сообщении #846186 писал(а):

И, как правило, когда мы их используем, мы подразумеваем, что область определений и область значений входят в одно множество, например, в множество натуральных чисел.

Ничего подобного, как правило, мы не подразумеваем.

[_Ivana]

Если я не ошибаюсь, это подразумевание относится не к функциям, а к операциям, определяемым на каком-либо множестве.

[foo-bar2014]

Lia в сообщении #846188 писал(а):

Ничего подобного, как правило, мы не подразумеваем.

Если Вас не затруднит, не могли бы Вы привести какой-нибудь простенький пример, где область определений и область значений функции НЕ входят в одно множество?

-- 06.04.2014, 16:03 --

_Ivana в сообщении #846197 писал(а):

Если я не ошибаюсь, это подразумевание относится не к функциям, а к операциям, определяемым на каком-либо множестве.

Возможно, терминология не точна, но существуют ли функции, область определений и область значений которых НЕ входят в одно и то же множество?

-- 06.04.2014, 16:05 --

_Ivana в сообщении #846197 писал(а):

а к операциям

Да, и кстати, в чем принципиальная разница между функцией и операцией?

[Oleg Zubelevich]

foo-bar2014 в сообщении #846186 писал(а):

Функции обычно определяются как отображение из области определений

обещающее начало

[Brukvalub]

Вот что интересно: как некоторым удается придумать столь глупый вопрос?
Неужели не ясно, что всегда можно рассмотреть объединение области определения и множества значений?

[foo-bar2014]

Oleg Zubelevich в сообщении #846200 писал(а):

обещающее

Там все в порядке, по теме есть что сказать?

[Oleg Zubelevich]

а какой смысл по теме, если вы даже термины освоить не в состоянии?

[Lia]

Пожалста. Отображение $f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ с законом соответствия $f(n)=\frac 1n$. Область значений не совпадает с областью определения. Это я на Ваш исходный пост отвечаю, как он был мною понят. Потому что в этой формулировке он еще какой-то смысл имеет.
Далее.

foo-bar2014 в сообщении #846198 писал(а):

пример, где область определений и область значений функции НЕ входят в одно множество?

Насчет "входят в одно множество", ну объедините область значений с областью определения, обзовите это неким новым множеством $M$, и получите, что и то, и то входит в $M$. И функция тут ни при чем. Если выбросить лишнее, этот Ваш вопрос звучит так: а правда, что кое-когда два разных множества не получится запихать в одно? Ответ: нет, неправда, всегда получится. Положите функцию на место. :)

-- 06.04.2014, 18:18 --

Oleg Zubelevich

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #846200 писал(а):

foo-bar2014 в сообщении #846186 писал(а):

Функции обычно определяются как отображение из области определений

обещающее начало

Ладно Вам, каждому определению ставится в соответствие свое значение. Ежу понятно.

[foo-bar2014]

Lia в сообщении #846207 писал(а):

Положите функцию на место. :)

Спасибо большое за ответ, но это по-моему, означает, что в качестве функции мы можем написать любую ахинею, например, 1+носорог:), поскольку у нас всегда может, волшебным образом появиться некое множество, которое содержит в себе натуральные числа и животных. Практически, такой подход работать не будет. По-моему, следует исходить из уже предопределеных множеств, определяя операцию, а не придумывать их постфактум.

[Lia]

foo-bar2014 в сообщении #846223 писал(а):

что в качестве функции мы можем написать любую ахинею, например, 1+носорог:),

Не можем, пока Вы не определите, что означает операция сложения для таких причудливых аргументов.
Стандартная операция сложения определяется... а почитайте-ка сами, как она определяется.

[foo-bar2014]

Brukvalub в сообщении #846201 писал(а):

рассмотреть объединение области определения и множества значений

Рассмотреть в качестве чего? В качестве фантазии? У нас, например, есть множество нат чисел {123...}, множество четных {246...}, а множество {1325random...} существует? Чем можно обосновать его существование? Если я что-то написал произвольным образом, еще не значит, что это что-то, что-то означает, по-крайней мере осмысленное.

[kp9r4d]

Если после троеточия имеются в виду некоторые натуральные числа, то тем, что подмножество любого множества также множество.

[Someone]

foo-bar2014 в сообщении #846231 писал(а):

Если я что-то написал произвольным образом, еще не значит, что это что-то, что-то означает

А почему объединение множеств обязано "что-то" означать, кроме объединения?
Кстати, числовые функции, определённые на множествах объектов, которые не являются числами, встречаются сплошь и рядом. Например, такая функция, как рост человека. Или функция, определённая на множестве узлов, значениями которой являются многочлены.

[foo-bar2014]

Lia в сообщении #846227 писал(а):

Не можем, пока Вы не определите, что означает операция сложения для таких причудливых аргументов.
Стандартная операция сложения определяется... а почитайте-ка сами, как она определяется.

Тут дело не в конкретно этой операции. Она просто для примера. Вы правильно заметили, что операция должна быть определена, причем на конкретных данных. Итого, получается, что прежде чем определять ф-цию, мы должны понять, на каких типах данных она будет допустима, следовательно, мы не можем определить ф-цию, такую, чтобы область ее значения не входила в тот же тип, что область определения. Этот тип и будет множеством, на котором замкнутся области. Следовательно, невозможно определить такую функцию, чьи область определения и значения не входят в одно и то же множество определяемое типом данных, ф-ция задается этим множеством, и за его пределы она выйти не может. А если допустить, что может, никакой осмысленной системы мы не получим. Поэтому:

Цитата:

неправда, всегда получится

Не всегда.