Отображение. Обратное - разрывно

[Enot2]

Добрый день! Не могли бы вы помочь разобраться в следующем примере для задачи: существует ли взаимно-однозначное отображение полуинтервала на некоторое подмножество точек плоскости такое, что обратное к нему отображение разрывно.
Ответ: да, существует. Пример: занумеруем все рациональные числа на оси $Oy$. Эту нумерацию можно рассматривать как отображение множества $E$ всех натуральных чисел оси $Ox$ на множество $E_1$ всех рациональных чисел оси $Oy$. Однако обратное отношение разрывно в каждой точке множества $E_1$.
Собственно вопрос: почему обратное отношение будет разрывно в каждой точке, ведь: отображение $\varphi$ ставит в соответствие какому-то натуральному числу $x_i$ свое рациональное $y_i$, а обратное отношение ставит этому же $y_i$ натуральное $x_i$ и почему тогда обратное будет прерывным?

[Brukvalub]

Мне другое интересно: КАКИМ боком рассматриваемый пример соотносится с вопросом задачи?
Это все равно, что на вопрос на рынке: "Почем колбаса?" получить ответ: "Завтра в бане выходной".

[Enot2]

Brukvalub
А, кажется я понял, это не будет полуинтервалом (натуральные числа)?

[Brukvalub]

Enot2 в сообщении #845780 писал(а):

Brukvalub
А, кажется я понял, это не будет полуинтервалом (натуральные числа)?

Вы необыкновенно проницательны!

[Enot2]

Brukvalub
стараемся:D
А вот такой пример: пусть $E$-полуинтервал $[0;2 \pi)$ оси $Ox$, $E_1$ - окружность на плоскости $Oxy$ с центром в начале координат. Поставим в соответствие каждой точке $x \in [0;2 \pi)$ ту точку $M$ окружности, радиус вектор которой образует угол угол $x$ с положительным направлением оси абсцисс. Обратное отношение терпит разрыв в той точке окружности $M_0$, которая соответствует точке $x=0$.
Почему тут будет разрыв, ведь для обратного отношения определим: $(\varphi)^{-1} (M_0)=0$

[Brukvalub]

Это верный пример.

[Enot2]

Brukvalub
Но почему тут будет разрыв, ведь для обратного отношения определим: $(\varphi)^{-1} (M_0)=0$

[Brukvalub]

Разве разрыв можно обнаружить только по значению отображения в одной точке?

[Enot2]

Brukvalub
Так, видимо я неправильно понимаю понятие "разрыв". Я его понимаю как: при данном значении отображение не переводит это значение никуда, ну то есть, при данном значении отображение не определено. А как правильно понимать?

[Oleg Zubelevich]

не рассмотреть ли нам отображение $[0,1)$ на окружность

[Brukvalub]

Enot2 в сообщении #845832 писал(а):

Brukvalub
.. А как правильно понимать?

А как правильно понимать - учат по учебнику, а не вопрошают на форуме.

[Enot2]

Oleg Zubelevich
Можно брать, я думаю, синус, то есть, будем решать уравнение $\sin x=i$, где $i$-пробегает все значения $[0;1)$. Тогда получим полуокружность(центр по-прежнему в начале координат, $R=1$), расположенную в первой и второй координатных четвертях, с выколотой точкой $(0;1)$. Это и будет нашим разрывом?

[Brukvalub]

Какой смысл помогать решить задачу тому, кто не удосужился выучить определение упоминаемых в условии задачи понятий? Это все равно что взяться переворачивать на концерте ноты для "пианиста", который не знает, для чего у пианино клавиши.

[svv]

Увы, это правда. Сейчас попытался продумать, как рассказать в двух словах, что такое разрыв, поймал себя на том, что это будет пересказ темы о понятии непрерывности.