Алгебраическое уравнение

[Ulya]

Как записать в виде алгебриического уравнения порядка $n$ след.систему

$$ S_q=1, S_m=0, m \ne q, m=1,\ldots,n, $$

где

$$ S_k = \sum_{j=1}^n \lambda_j^k $$

[Руст]

$S_k$ связаны с $\sigma_k$ формулами Жерара, знает один комплект можно однозначно определить другой. Зная $\sigma_k$ можно записать уравнение $\sum_{k=0}^n\sigma_k x^{n-k}(-1)^k=0 \ (\sigma_0\equiv 1)$.

[Ulya]

Я смотрела формулу для симметричных многочленов Ньютона.Но у меня не получилось выписать таккую формулу (

Добавлено спустя 2 часа 42 минуты 31 секунду:

;(

[Brukvalub]

Возможно, вот эти соотношения: ftp://ftp.mccme.ru/users/prasolov/polynoms/poly2.pdf , вытекающие из формул Ньютона, Вам помогут (см. стр. 93 прямо перед п.11.2).

[Ulya]

Эта книжка у меня есть.Я никак не могу получить это алгебраическое уравниние,хотя кажется,что там все просто (

[Brukvalub]

Имеете формулы, выражающие значения симметрических многочленов через Ваши (см. книжку) и т. Виета, которая связывает корни уравнения с его коэффициентами через симметрические многочлены от корней. Тем самым Вы знаете коэффициенты уравнения. Что же Вам ещё нужно?

[нг]

см. по ссылке.

[Ulya]

Да нет же.Мне в общем случае надо получить, а не для конкретного $q$.

[нг]

Ещё раз: смотрите по ссылке Формулы Ньютона (или Ньютона-Жерара). Они там выписаны совсем не для $q = 3$.

[Ulya]

нг я вижу,что для любого $q$. А в полином для любого $q$ найти не получается (

[Ulya]

Ну как вывести алгебраическое уравнение это?!

Добавлено спустя 57 минут 33 секунды:

Я вот так полагаю должно получиться, только я не могу найти коэффициенты $c_{\mu}$:

$$ \sum_{\mu=0}^n c_{\mu} z^{n-q \mu}=0. $$

[незваный гость]

«Ещё немного, ещё чуть-чуть!»

1) $ \sum\limits_{\mu=0}^{n/q} c_{\mu} z^{n-q \mu}=0$ (обратите внимание на верхний предел).

2) Попытайтесь доказать, что $c_k$ — коэффициенты полинома, удовлетворяющего соотношению $\sum_j x_j^k = \frac{1}{q}$ для всех «хороших» $k$.

3) Соедините это всё с материалами из книжки Прасолова, которую Вам рекомендовал Brukvalub.

И солнце взойдёт.

[Ulya]

незваный гость, что значит для всех хороших $k$?

[Ulya]

Никак не выходит получить эту формулу (

[незваный гость]

Хорошие, в данном случае $ k \leq n$. Чтобы формулы Ньютона-Жерара работали.

Доказывать утверждение (2) проще всего по индукции, отдельно рассматривая случаи $q$ делящего и не делящего $k$.