2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Алгебраическое уравнение
Сообщение29.10.2007, 20:27 
Как записать в виде алгебриического уравнения порядка $n$ след.систему
$$
S_q=1, S_m=0, m \ne q, m=1,\ldots,n, 
$$
где
$$
S_k = \sum_{j=1}^n \lambda_j^k
$$

 
 
 
 
Сообщение29.10.2007, 20:49 
$S_k$ связаны с $\sigma_k$ формулами Жерара, знает один комплект можно однозначно определить другой. Зная $\sigma_k$ можно записать уравнение $\sum_{k=0}^n\sigma_k x^{n-k}(-1)^k=0 \ (\sigma_0\equiv 1)$.

 
 
 
 
Сообщение29.10.2007, 23:54 
Я смотрела формулу для симметричных многочленов Ньютона.Но у меня не получилось выписать таккую формулу (

Добавлено спустя 2 часа 42 минуты 31 секунду:

;(

 
 
 
 
Сообщение30.10.2007, 00:18 
Аватара пользователя
Возможно, вот эти соотношения: ftp://ftp.mccme.ru/users/prasolov/polynoms/poly2.pdf , вытекающие из формул Ньютона, Вам помогут (см. стр. 93 прямо перед п.11.2).

 
 
 
 
Сообщение30.10.2007, 00:25 
Эта книжка у меня есть.Я никак не могу получить это алгебраическое уравниние,хотя кажется,что там все просто (

 
 
 
 
Сообщение30.10.2007, 00:52 
Аватара пользователя
Имеете формулы, выражающие значения симметрических многочленов через Ваши (см. книжку) и т. Виета, которая связывает корни уравнения с его коэффициентами через симметрические многочлены от корней. Тем самым Вы знаете коэффициенты уравнения. Что же Вам ещё нужно?

 
 
 
 
Сообщение30.10.2007, 07:08 
Аватара пользователя
см. по ссылке. 8-)

 
 
 
 
Сообщение30.10.2007, 10:25 
Да нет же.Мне в общем случае надо получить, а не для конкретного $q$.

 
 
 
 
Сообщение30.10.2007, 21:26 
Аватара пользователя
Ещё раз: смотрите по ссылке Формулы Ньютона (или Ньютона-Жерара). 8-) Они там выписаны совсем не для $q = 3$. :wink:

 
 
 
 
Сообщение30.10.2007, 23:32 
нг я вижу,что для любого $q$. А в полином для любого $q$ найти не получается (

 
 
 
 
Сообщение31.10.2007, 22:09 
Ну как вывести алгебраическое уравнение это?!

Добавлено спустя 57 минут 33 секунды:

Я вот так полагаю должно получиться, только я не могу найти коэффициенты $c_{\mu}$:
$$
\sum_{\mu=0}^n c_{\mu} z^{n-q \mu}=0.
$$

 
 
 
 
Сообщение01.11.2007, 02:47 
Аватара пользователя
:evil:
«Ещё немного, ещё чуть-чуть!»

1) $ \sum\limits_{\mu=0}^{n/q} c_{\mu} z^{n-q \mu}=0$ (обратите внимание на верхний предел).

2) Попытайтесь доказать, что $c_k$ — коэффициенты полинома, удовлетворяющего соотношению $\sum_j x_j^k = \frac{1}{q}$ для всех «хороших» $k$.

3) Соедините это всё с материалами из книжки Прасолова, которую Вам рекомендовал Brukvalub.

И солнце взойдёт.

 
 
 
 
Сообщение01.11.2007, 08:54 
незваный гость, что значит для всех хороших $k$? :twisted:

 
 
 
 
Сообщение05.11.2007, 01:49 
:(
Никак не выходит получить эту формулу (

 
 
 
 
Сообщение05.11.2007, 02:22 
Аватара пользователя
:evil:
Хорошие, в данном случае $ k \leq n$. Чтобы формулы Ньютона-Жерара работали.

Доказывать утверждение (2) проще всего по индукции, отдельно рассматривая случаи $q$ делящего и не делящего $k$.

 
 
 [ Сообщений: 15 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group