Проверка квадратных уравнений с одной переменной

[JAnton]

Господа, помогите с проверкой квадратных уравнений в которых учавствуют квадратные корни. Собственно вопрос, вот есть уравнение : $\sqrt{10 - x^2} + \sqrt{x^2 + 3} = 5 у него 4 корня $\pm1 и $\pm\sqrt{6}, проверяем первые 2 корня. Так как переменная возведена в квадрат, то знак не имеет значения, при подстановке получаем :
$\sqrt{9} + \sqrt{4} = вот здесь и вопрос, корень квадратный из $\sqrt{x^2} = \pm x . Тоесть в уравнение подставляются поочередно оба знака (просто этот корень подходит только если брать положительные значения т.е. 3 + 2 = 5 )?

[Brukvalub]

JAnton писал(а):

корень квадратный из $\sqrt{x^2} = \pm x

Нет,

\[ \sqrt {x^2 } = \left| x \right|\]

[JAnton]

Brukvalub писал(а):

Нет,

\[\sqrt {x^2 } = \left| x \right|\]

Точно! Спасибо.

[JAnton]

Я конечно извиняюсь за непонятливость, но не могли бы вы мне объяснить на пальцах следующую ситуацию, допустим есть поростейшее уравнение :
x^2 = 4 ежу понятно, что корня у него 2 : +2 и -2, но если следовать решению, то
x = \sqrt4
а так как 4 = 2^2, то \sqrt4 = \left| 2 \right|, тоесть число положительное, тоесть x = \left| 2 \right|, тоесть +2! Но это не верно. Не могли бы вы указать мне в чем моя ошибка?

[Парджеттер]

JAnton писал(а):

Я конечно извиняюсь за непонятливость, но не могли бы вы мне объяснить на пальцах следующую ситуацию, допустим есть поростейшее уравнение :
x^2 = 4 ежу понятно, что корня у него 2 : +2 и -2, но если следовать решению, то
x = \sqrt4
а так как 4 = 2^2, то \sqrt4 = \left| 2 \right|, тоесть число положительное, тоесть x = \left| 2 \right|, тоесть +2! Но это не верно. Не могли бы вы указать мне в чем моя ошибка?

Ошибка у вас в том месте, где $x = \sqrt4$. На самом деле $x = \pm \sqrt4$. Это раз.
Два: $\sqrt4 \ne \left| 2 \right|$, ибо $\sqrt4 = 2 $. После чего нетрудно восстановить правильные рассуждения.

[Brukvalub]

JAnton писал(а):

допустим есть поростейшее уравнение :
x^2 = 4 ежу понятно, что корня у него 2 : +2 и -2, но если следовать решению, то
x = \sqrt4

А какому такому решению Вы следуете? Следует различать две ситуации:
1. Извлечение арифметического квадратного корня из неотрицательного числа -

\[\sqrt 4 = 2\]

2. Решение квадратного уравнения

\[ x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm \sqrt 4 = \pm 2 \]

[незваный гость]

Парджеттер писал(а):

Два: $\sqrt4 \ne \left| 2 \right|$, ибо $\sqrt4 = 2 $. После чего нетрудно восстановить правильные рассуждения.

Ну, вообще-то, $\sqrt4 = \left| 2 \right|$. Поскольку $|2| = 2$. В большинстве случаев.

[Парджеттер]

незваный гость писал(а):

Поскольку $|2| = 2$. В большинстве случаев.

Не очень вас понимаю. $|2|$ означает именно то, что оно по модулю. Это же факторизация. И знак может быть любой - как $+$, так и $-$.

Или я чего-то не так говорю?

[Алексей К.]

JAnton,

Квадратным корнем из, например, 9, является 3: $\sqrt{9}=3$.
Корнем (=решением) уравнения $x^2=9$ является и число $3$, и число $-3$.
Т.е. корнями уравнения $x^2=9$ являются $x_{1,2}=\pm\sqrt{9}=\pm3$.
Использование слова "корень" в обоих случаях, вероятно, вносит некоторую путаницу.
Например, корнем уравнения $2x-4=0$ является $x=2$; при этом ни о каких квадратных корнях речи нет.

В Вашей задаче важно ещё понимать, почему проверка корней обязательна, и является необходимой частью решения (тогда как в случае уравнения $2x-4=0$ проверка корней --- это личное дело решателя, и она должна остаться в черновике, не переписываться в формальное решение).

Если Вы вдруг этого не знаете, хотите узнать, и по-прежнему следите за темой --- свисните.

[JAnton]

Всем спасибо за за подробные разъяснения.
Алексей К., не знаю, хочу узнать, свищу

[незваный гость]

Парджеттер писал(а):

Не очень вас понимаю. $|2|$ означает именно то, что оно по модулю. Это же факторизация. И знак может быть любой - как $+$, так и $-$.

По определению, модуль числа равен самому числу для неотрицательных чисел, и равен числу с обратным знаком для отрицаетльных. Т.е., никаких $\pm$.

Иногда встречающаяся запись $|x| = \pm x$ вводит в заблуждение: модуль — это конкретное (всегда положительное) значение, а не пара (как в случае корня квадратного уравнения). $|2| = 2$.

[Парджеттер]

незваный гость писал(а):

По определению, модуль числа равен самому числу для неотрицательных чисел, и равен числу с обратным знаком для отрицаетльных. Т.е., никаких $\pm$.

Совершенно верно. Это я сказал жуткую глупость

[Алексей К.]

JAnton писал(а):

Алексей К., не знаю, хочу узнать, свищу

Когда Вы решаете уравненьице вроде, например, $\frac{x^2}{3}+\frac{8}{3}=2x$, Вы начинаете его курочить (преобразовывать).
"Не люблю дробей, умножу-ка я левую и правую часть на 3": $x^2+8=6x$.
"А по какому праву?" --- спросит сторонний наблюдатель.
"А по такому --- я его не испортил:

(1) Если какой-то $x$ удовлетворял данному уравнению, то и новое с ним уживётся.
(2) И наоборот --- если какой-то $x$ НЕ удовлетворял данному уравнению, то и в новое он не влезет.

А потому отниму-ка я от обеих частей $6x$": $x^2+8-6x=0$ (про это также говорят "а перенесу-ка я $6x$ влево с обратным знаком")
Сторонний наблюдатель наблюдатель заткнулся, не вмешивается.

Теперь так: $x^2-\underbrace{2\cdot 3\cdot x}_{6x}+\underbrace{9-1}_{8}=\underbrace{x^2-2\cdot 3\cdot x+9}_{\mbox{\tiny Вау!!!}}-1=0$ --- вообще ничего не изменил, зато какой эффект:
$(x-3)^2-1=0$, $(x-3)^2=1$, $(x-3)=\pm1$, $x_1=+1+3=4,\;x_2=-1+3=2$ !

Преобразования, которые делались, были эквивалентными --- см. пункты (1) и (2), не забывая про (2).

А вот если мы позволим себе возводить обе части уравнения в квадрат (просто для того, чтобы избавиться от квадратных корней, или, как их ещё называют --- от радикалов) то это уже совем другое дело. Это НЕэквивалентное преобразование уравнения. В самом деле, были у нас уравнения ---

$$\sqrt{x+6}-\sqrt{x-6} =2,\quad\eqno(1)$$

и

$$\sqrt{x+6}-\sqrt{x-6} =-2,\quad\eqno(2)$$

каждое со своими решениями. После возведения в квадрат они превратятся в одинаковое уравнение ---

$$\left(\sqrt{x+6}-\sqrt{x-6}\right)^2 =4,\quad\eqno(3)$$

которое, очевидно, захватило и решения первого, и решения второго уравнения. И проверка найденных решений уравнения (3), пришедших от всяких других уравнений, становится необходимой частью решения заданного уравнения (1).

Вот, решал я, например $2x=4$, и сдуру стал в квадрат возводить:
$4x^2=16$,
$x^2=4$,
$x_1=+2$, $x_2=-2$.
А теперь проверять вынужден: $2x_1=4$, но $2x_2\not=4$, поэтому остаётся только $x=2$...

Вот так, типа...

PS.
Антон, если вдруг случайно Вы разбираетесь в дифференциальных уравнениях и сможете мне что-нибудь подсказать по этому вопросу, я Вам тоже буду признателен...

Добавлено спустя 22 минуты 38 секунд:

Ну, и для пущей точности в выражениях:

JAnton писал(а):

Господа, помогите с проверкой квадратных уравнений в которых учавствуют квадратные корни.

Ваши уравнения не были квадратными, это были "уравнения, в которых участвуют квадратные корни", или уравнения, содержащие радикалы. Возможно, в процессе решения они потом и приводились к квадратным.

[JAnton]

Алексей К.,
низкий вам поклон, очень подробно, спасибо.
Вобщем я так понял, что если присутствует уравнение, типа
x^2 = 9, то тады x = \pm\sqrt{9}, соответственно \pm 3. Ну а если просто a^n, то существует единственное число x, положительное, такое что x^n = a, тоесть \sqrt{9} = 3

На тему диффиринциальных уравнений, нет, к сожалению не знаю

[Алексей К.]

Пожалста.

JAnton писал(а):

Вобщем я так понял, что если присутствует уравнение, типа
x^2 = 9, то тады x = \pm\sqrt{9}, соответственно \pm 3. Ну а если просто a^n, то существует единственное число x, положительное, такое что x^n = a, тоесть \sqrt{9} = 3

Вот что Вы хотели написать:
Корнями (=решениями) уравнения x^2 = A являются числа $x=\pm\sqrt{A}$, ежели число $\sqrt{A}$ существует.
Корнями (=решениями) уравнения x^n = A ($n$ --- целое положительно число) являются:
если $n$ --- четное, то числа $x=\pm\sqrt[n]{A}$, ежели число $\sqrt[n]{A}$ существует (например, $5^4=625$, и $(-5)^4=625$, и больше никакое число не даёт такого результата, поэтому уравнение $x^4 = 625$ имеет два решения $x_{1,2}=\pm\sqrt[4]{625}=\pm5$);
если $n$ --- НЕчетное, то число $x=\sqrt[n]{A}$ (например, $5^3=125$, а $(-5)^3=-125$, поэтому уравение $x^3 = 125$ имеет решение $x=\sqrt[3]{125}=5$, а уравение $x^3 = -125$ имеет решение $x=\sqrt[3]{-125}=-5$.

JAnton писал(а):

На тему диффиринциальных уравнений, нет, к сожалению не знаю

Пашутил я...