формула Стокса

[olga_helga]

Вычислить криволинейный интеграл

\[ \oint\limits_L {(z - x)dx + (x + 2x)} \]

по контуру

\[ L:x^2 + y^2 + z^2 = 5,y = 1 \]

, применяя формулу Стокса.
Вообщем, в чем у меня загвоздка:
по сути применяя формулу Стокса получаем:

\[ \iint\limits_{\sum ^ + } {\left( {\frac{{\partial R}} {{\partial y}} - \frac{{\partial Q}} {{\partial z}}} \right)dydz + \left( {\frac{{\partial P}} {{\partial z}} - \frac{{\partial R}} {{\partial x}}} \right)dxdz + \left( {\frac{{\partial Q}} {{\partial x}} - \frac{{\partial P}} {{\partial y}}} \right)dxdy} \]

=

\[ \iint\limits_{\sum ^ + } {dxdz + 2dxdy} \]

.Так вот,если вычислять интеграл, используя проекцию только на одну плоскость, например на XOZ,то нужно вычилсть так:

\[ \iint {(P( - y_x^' ) + Q + R}( - y_z^' ))dxdz \]

.Тогда y брать как

\[ y = \sqrt {5 - x^2 - z^2 } \]

или как y=1?.В первом случае получается, что исходный интеграл =

\[ \iint {\left( {1 + \frac{{2z}} {{\sqrt {5 - x^2 - z^2 } }}} \right)}dxdz \],а во втором протенький интерал [math]\[ \iint {dxd}z = 4\pi \]

( если перейти в полярные коорлинаты)
[/math]

[Brukvalub]

Вы можете выбрать любую удобную для вычислений кусочно-гладкую двустороннюю поверхность, границей которой является заданный контур. Вы же ничего не выбрали, не задали ориентацию контура, не согласовали ориентацию поверхности, накосячили с формулами...

[olga_helga]

Начнем с того что, речь идет даже не о поверхности, а о контуре.Далее, где это я накасячила с формулами?

[Brukvalub]

olga_helga писал(а):

Начнем с того что, речь идет даже не о поверхности, а о контуре

Тогда приведите полную формулировку теоремы о ф-ле Стокса.

olga_helga писал(а):

Далее, где это я накасячила с формулами?

Я и не говорил, что Вы накасячили, я писал "накосячили". Возможно, это у меня выпадает какая-то ошибка при открытии формул, но все-же проверьте их...

[olga_helga]

Ну полной формулировке Формулы Стокса

\[ \sum \]

- гладкая двусторонняя поверхность с краем L,выполняется равенство:

\[ \oint\limits_L {Pdx + Qdy + Rdz = \iint\limits_{\sum ^ + } {\left( {\frac{{\partial R}} {{\partial y}} - \frac{{\partial Q}} {{\partial z}}} \right)dydz + \left( {\frac{{\partial P}} {{\partial z}} - \frac{{\partial R}} {{\partial x}}} \right)dxdz + \left( {\frac{{\partial Q}} {{\partial x}} - \frac{{\partial P}} {{\partial y}}} \right)dxdy}} \]

.Так если использовать метод вычисления поверхностного интеграла 2 рода проецирования на одну координатную плоскость, т.е.

\[ \iint {(P\cos \alpha + Q\cos \beta + R\cos \gamma )}d\sigma = \pm \iint\limits_{\sum _{XOZ} } {(P( - y_x^' ) + Q + R( - y_z^' ))dxdz} \]

.Так вот для последнего вычисления я не могу разобраться использовать

\[ y = \sqrt {5 - x^2 - z^2 } \]

или y=1?

[Brukvalub]

olga_helga писал(а):

т.е.

\[ \iint {(P\cos \alpha + Q\cos \beta + R\cos \gamma )}d\sigma = \pm \iint\limits_{\sum _{XOZ} } {(P( - y_x^' ) + Q + R( - y_z^' ))dxdz} \]

Вот это безобразие в формуле я и называю "накосячили". А выбрать Вы можете любую из поверхностей - какая Вам удобна, ту и берите.

[olga_helga]

У меня в MathType все в линию пишется, а сюда почему-то именно эта формула вставляется через одно место. Так если я беру y=1, это вообще говоря правильно и мне нужно будет вычеслить только интеграл

\[ \iint {dxdz = \int\limits_0^{2\pi } {d\varphi } \int\limits_0^R {rdr} = 4\pi } \]

, т.к.

\[ y_x^' = y_z^' = 0 \]

.Так?

[Brukvalub]

olga_helga писал(а):

Так?

Так-то так, но на контуре не задана ориентация, а без этого может оказаться и не так